2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）下学期期末考试数学（理）试题（解析版） 13页

‎2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若集合，则集合 ( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：解： ‎ 所以选D．‎ ‎【考点】集合的运算．‎ ‎2．下列命题是真命题的为（ ）‎ A． 若,则 B． 若,则 C． 若,则 D． 若,则 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：B若，则，所以错误；C．若，式子不成立．所以错误；D．若，此时式子不成立．所以错误，故选择A ‎【考点】命题真假 ‎3．用四个数字1,2,3,4能写成（ ）个没有重复数字的两位数.‎ A． 6 B． 12 C． 16 D． 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由排列数公式计算即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，属于排列问题，则一共有种不同的取法.‎ 即共有12个没有重复数字的两位数.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列数公式的应用，注意区分排列、组合、放回式抽取和不放回抽取的不同.‎ ‎4．“”是“a,b,c成等比数列”的( )‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：因为此时不能推出结论，反之就成立。‎ 因此条件是结论成立的必要不充分条件 ‎5．对相关系数r，下列说法正确的是（ ）‎ A． 越大，线性相关程度越大 B． 越小，线性相关程度越大 C． 越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大 D． 且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：两个变量之间的相关系数，r的绝对值越接近于1，表现两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关.‎ 故选D．‎ ‎【考点】线性回归分析.‎ ‎6．点的直角坐标为，则点的极坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：,‎ ‎,又点在第一象限,‎ ‎,点的极坐标为.故A正确.‎ ‎【考点】1直角坐标与极坐标间的互化.‎ ‎【易错点睛】本题主要考查直角坐标与极坐标间的互化,属容易题. 根据公式 可将直角坐标与极坐标间互化,当根据求时一定要参考点所在象限,否则容易出现错误.‎ ‎7．命题“”的否定是（ ）‎ A．不存在 B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：命题的否定，除结论要否定外，存在量词必须作相应变化，例如“任意”与“存在”相互转换．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎8．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知为古典概型，总的可能结果有种，满足条件的方案有三类：一是一男三女，一是两男两女，另一类是三男一女；每类中都用分步计数原理计算，再将三类组数相加，即可求得满足条件的结果，代入古典概型概率计算公式即可得到概率.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，选4名同学总的可能结果有种.‎ 选到的4名同学中既有男同学又有女同学方案有三类：‎ ‎ （1）一男三女，有种， ‎ ‎ （2）两男两女，有种.‎ ‎ （3）三男一女，有种.‎ 共种结果.‎ 由古典概型概率计算公式，.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型与排列组合的综合问题，利用排列组合的公式计算满足条件的种类是解决本题的关键.‎ ‎9．设两个正态分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )‎ A． μ1＜μ2，σ1＜σ2‎ B． μ1＜μ2，σ1＞σ2‎ C． μ1＞μ2，σ1＜σ2‎ D． μ1＞μ2，σ1＞σ2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由密度函数的性质知对称轴表示期望，图象胖瘦决定方差，越瘦方差越小，越胖方差越大，所以μ1＜μ2，σ1＜σ2.故选A.‎ ‎【考点】正态分布.‎ ‎10．已知X的分布列为 X ‎－1‎ ‎0 ‎ ‎1‎ P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为 A． B． 4 C． －1 D． 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由条件中所给的随机变量的分布列可知 EX=﹣1×+0×+1×=﹣，‎ ‎∵E（2X+3）=2E（X）+3，‎ ‎∴E（2X+3）=2×（﹣）+3= ．故答案为：A．‎ ‎11．函数的最小值为（ ）‎ ABCD ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,如图所示可知,,因此最小值为2,故选C.‎ 点睛:解决本题的关键是根据零点分段去掉绝对值,将函数表达式写成分段函数的形式,并画出图像求出最小值. 恒成立问题的解决方法(1)f(x)m恒成立，须有[f(x)]min>m；(3)不等式的解集为R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为∅，即不等式无解．‎ ‎12．若，则=（ ）‎ A． -1 B． 1 C． 2 D． 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入，可以求得各项系数之和；将代入，可求得，‎ 两次结果相减即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 将代入，得，即，‎ 将代入，得，即，‎ 所以 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式系数的性质，若二项式展开式为，则常数项，各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为.‎ 二、填空题 ‎13．若 ，则的值是_________‎ ‎【答案】2或7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由组合数的性质，可得或，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ 或，解得或，‎ 故答案为2或7.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查组合与组合数公式，属于基础题. ‎ 组合数的基本性质有：‎ ‎①；②；③.‎ ‎14．的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 。（用数字作答）‎ ‎【答案】10；32‎ ‎【解析】由得故展开式中常数项为 取即得各项系数之和为。‎ ‎15．绝对值不等式解集为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可.‎ ‎【详解】‎ 由，得，解得 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力.‎ ‎16．若随机变量X服从二项分布,且,则=_______ , =_______.‎ ‎【答案】 8 1.6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布的数学期望和方差的公式，直接计算.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为(1). 8 (2). 1.6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题的关键是熟练应用二项分布的数学期望和方差的公式.‎ 三、解答题 ‎17．将下列参数方程化为普通方程：‎ ‎（1）（为参数）；‎ ‎（2）（为参数）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别分离处参数中的，根据同角三角函数的基本关系式，即可消去参数得到普通方程；（2）由参数方程中求出，代入整理即可得到其普通方程.‎ 试题解析：（1）∵，∴，两边平方相加，得，‎ 即.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴由代入，得，‎ ‎∴.‎ ‎【考点】曲线的参数方程与普通方程的互化.‎ ‎18．在10件产品中,有3件一等品,7件二等品,.从这10件产品中任取3件,求：取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布，由此能求出的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】‎ 解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望EX=‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，是近几年高考题中经常出现的题型.‎ ‎19．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2-2ρcos(θ－)＝2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.‎ ‎【答案】（1）x2＋y2＝4；x2＋y2－2x－2y－2＝0.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由ρ＝2可知，再用两角差的余弦公式展开圆O2的极坐标公式，利用，和，代换即可得到圆O1和圆O2的直角坐标方程；‎ ‎（2）在直角坐标系中求出经过两圆的交点的直线方程，再利用转换关系式求出极坐标方程.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由ρ＝2可知，‎ 因为ρ2－2ρcos(θ－)＝2，‎ 所以ρ2－2ρ(cosθcos＋sinθsin)＝2，即 将代入两圆极坐标方程，‎ 所以圆O1直角坐标方程：x2＋y2＝4；‎ 圆O2直角坐标方程：x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.‎ 化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin(θ＋)＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标和直角坐标互化，过两圆交点的直线方程的求法，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.‎ ‎20．（1）解不等式: ‎ ‎（2）设，求证：‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据零点分段法，分三段建立不等式组，解出各不等式组的解集，再求并集即可.‎ ‎（2）运用柯西不等式，直接可以证明不等式，注意考查等号成立的条件，.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解： 原不等式等价于 ‎ 或 或 ‎ 即： 或 或 ‎ 故元不等式的解集为：‎ ‎（2）由柯西不等式得，，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式得解法、柯西不等式等基础知识，考查运算能力.‎ 含绝对值不等式的解法：‎ ‎（1）定义法；即利用去掉绝对值再解 ‎（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；‎ ‎（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；‎ ‎（4）图象法或数形结合法；‎ ‎21．某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示 年份2010+x（年）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 人口数y（十万）‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎19‎ ‎ (1)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎ (2) 据此估计2015年该城市人口总数。‎ ‎【答案】（1）；（2）196万.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出五对数据的平均数，求出年份和人口数的平均数，得到样本中心点，把所给的数据代入公式，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出a的值，从而得到线性回归方程；‎ ‎（2）把x=5代入线性回归方程，得到，即2015年该城市人口数大约为19.6（十万）.‎ 试题解析：‎ 解：（1），‎ ‎= 0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，‎ ‎=‎ 故y关于x的线性回归方程为 ‎（2）当x=5时，，即 据此估计2015年该城市人口总数约为196万. ‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎22．已知，设命题：函数在上是增函数；命题：关于的方程无实根.若“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求命题和命题为真时的范围，若“且”为假，“或”为真，则命题与命题一真一假，分类讨论真假与真假时的范围，再取并集即可.‎ ‎【详解】‎ 解：命题：在R上单调递增，，‎ 命题：关于的方程无实根，且 ，‎ ‎ ，解得 命题且为假，或为真，命题与一真一假，‎ ‎①真假, 则 ‎②真假，则 所以的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的单调性、一元二次方程根与判别式的关系，简单逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力.‎