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- 2021-06-01 发布
衡阳八中2018届高三上学期第一次月考试卷
文数
考试范围：集合，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷 选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。[第1-8题为文理科必做试题，第9-12题文科考生选做文科试题，理科考生选做理科试题]
1.设偶函数f（x）满足f（x）=2﹣x﹣4（x≤0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）
A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜﹣2或x＞2}
C．{x|x＜0或x＞4} D．{x|x＜0或x＞6}
2.已知sinα=，且tanα＜0，则cos（π+α）=（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
3.复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.已知偶函数f（x）在（0，+∞）上递减，已知a=0.2，b=log0.2，c=0.2，则f（a），f（b），f（c） 大小为（ ）
A．f（a）＞f（b）＞f（c）
B．f（a）＞f（c）＞f（b）
C．f（b）＞f（a）＞f（c）
D．f（c）＞f（a）＞f（b）
5.已知函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{an
}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{an}的前25项之和为（ ）
A．0 B． C．25 D．50
6.已知△ABC中，AB=，AC=1，∠CAB=30°，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=（ ）
A．0 B．π C．π2 D．9
8.已知函数f（x）=cos（2x+φ），|φ|≤，若f（﹣x）=﹣f（x），则要得到y=sin2x的图象只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
9. 若实数x、y满足条件，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
10. 数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2016的值是（ ）
A． B． C． D．
11.设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=2x2，在（0，+∞）上f′（x）＞2x，若f（2﹣m）+4m﹣4≥f（m），则实数m的取值范围为（ ）
A．﹣1≤m≤1 B．m≤1 C．﹣2≤m≤2 D．m≥2
12. 已知函数f（x）=|x|•ex（x≠0），其中e为自然对数的底数，关于x的方程有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷 非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.函数f（x）=（）x+1，x∈[﹣1，1]的值域是 ．
14.已知数列{an}的前n项和Sn满足4an﹣3Sn=2，其中n∈N．则数列{an}的通项公式为 ．
15.已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是 ．
16.已知函数f（x）=|x+﹣ax﹣b|（a，b∈R），当x∈[，2]时，设f（x）的最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为 ．
三.解答题（共6题，共70分）
17.(本题满分10分)
已知P：﹣x2+8x+20≥0，q：﹣x2﹣2x+1﹣m2≤0
（Ⅰ）若m＞0，且p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若“￢p”是“￢q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18.（本题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．
（Ⅰ）求∠BCD的大小；
（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．
19.（本题满分12分）
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}中，bn=log2 an，求数列{an•bn}的前n项和Tn．
20.（本题满分12分）
对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．
（1）求证：函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函数；
（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）对一切的x∈R恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=mx+是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．
21.（本题满分12分）
已知函数f（x）=4sin（ωx﹣）•cosωx在x=处取得最值，其中ω∈（0，2）．
（1）求函数f（x）的最小正周期：
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．若α为锐角．g（α）=，求cosα
22.（本题满分12分）
定义：若曲线y=f（x）与y=g（x）都和直线y=kx+b相切，且满足：f（x）≤kx+b≤g（x）或g（x）≤kx+b≤f（x）恒成立，则称直线y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“内公切线”．已知f（x）=﹣x2，g（x）=ex．
（1）试探究曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在“内公切线”？若存在，请求出内公切线的方程；若不存在，请说明理由；
（2）g′（x）是函数g（x）的导设函数，P（x1，g（x1）），Q（x2，g（x2））是函数y=g（x）图象上任意两点，x1＜x2，且存在实数x3，使得g′（x3）=，证明：x1＜x3＜x2．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
B
C
D
B
B
D
C
B
D
答案
13.
14.an=2•4n﹣1
15.（，π）
16.
17.
（1）解﹣x2+8x+20≥0得：﹣2≤x≤10，
若m＞0，则解﹣x2﹣2x+1﹣m2≤0得：1﹣m≤x≤1+m，
若p是q充分不必要条件，
则[﹣2，10]是[1﹣m，1+m]的真子集．
∴，
解得：m≥9．
（2）∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件．
①当m＞0时，由（1）得：，
解得：0＜m≤3．
②当m=0时，Q：x=1，符合，
③当m＜0时，﹣3＜m≤0，
∴实数m的取值范围为﹣3≤m≤3．
18.
（Ⅰ）在△ABC中，
因为，，
由正弦定理可得，
即，
所以．
因为∠ACB为钝角，所以．
所以．
（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB•DC•cos∠BCD，
即，
整理得BD=2．
在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，
即，
整理得．解得．
因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以．
所以△ABC的面积．
19.
（Ⅰ）由已知a4+a5+a6=14，∴a5=4，
又数列{an}成等比，设公比q，则+4q=10，
∴q=2或（与a4＞a3矛盾，舍弃），
∴q=2，an=4×2n﹣5=2n﹣3；
（Ⅱ）bn=n﹣3，∴an•bn=（n﹣3）×2n﹣3，
Tn=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，
2Tn=﹣2×2﹣1﹣1×20+0+…+（n﹣3）×2n﹣2，
相减得Tn=2×2﹣2﹣（2﹣1+20+…+2n﹣3）+（n﹣3）×2n﹣2=﹣（2n﹣2﹣）+（n﹣3）×2n﹣2
=（n﹣4）×2n﹣2+1，
20.
（1）当x∈[1，3]时，f1（x）=x﹣1+3﹣x=2，
当x∉[1，3]时，f1（x）=|x﹣1|+|x﹣3|＞|x﹣1+3﹣x|=2
故存在闭区间[a，b]=[1，3]⊆R和常数C=2符合条件，
所以函数f1（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函数…
（2）因为不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，
所以|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）min
由（1）可知f（x）min=（|x﹣1|+|x﹣3|）min=2
所以|t﹣1|+|t﹣2|≤2
解得：
（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[﹣2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+=c，即=c﹣mx
所以x2+2x+n=（c﹣mx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x2﹣2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立…
所以，所以或
①当时，g（x）=x+|x+1|．
当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣1，当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=2x+1＞﹣1恒成立．
此时，g（x）是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数
②当时，g（x）=﹣x+|x+1|．
当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣2x﹣1≥1，当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=1．
此时，g（x）不是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数．
综上分析，m=1，n=1为所求
21.
（1）化简可得f（x）=4sin（ωx﹣）•cosωx
=4（sinωx﹣sinωx）cosωx
=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx
=sin2ωx﹣cos2ωx﹣
=2sin（2ωx﹣）﹣，
∵函数f（x）在x=处取得最值，
∴2ω×﹣=kπ+，解得ω=2k+，k∈Z，
又∵ω∈（0，2），∴ω=，
∴f（x）=2sin（3x﹣）﹣，
∴最小正周期T=；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到y=2sin[3（x+）﹣]﹣=2sin（3x﹣）﹣的图象，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x﹣）﹣的图象．
∵α为锐角，g（α）=2sin（α﹣）﹣=，∴sin（α﹣）=，
∴cos（α﹣）==，
∴cosα=cos[（α﹣）+]=cos（α﹣）﹣sin（α﹣）
=﹣=
22.
（1）假设曲线与存在“内公切线”，记内公切线与曲线的切点为
，则切线方程为：．
又由可得：．
由于切线也和曲线相切，
所以．
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，故公切线的方程为：．
下面证明就是与内公切线，即证．
∵，
∴成立．
设，则．
令，得．
当时，，当时，，
∴在上为减函数，在上为增函数，
所以，即．
∴，即就是曲线与的内公切线．
（2）∵，∴．
要证明：，
只需证明：，
只需证明：，
只需证明：，及，
只需证明：，及．
由（1）知：，所以及成立，
∴ ．