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- 2021-05-31 发布
永州市2018年高考第二次模拟考试试卷
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
1～5 ACDAA 6～10 BDDBB 11～12 CC
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．15 14． 15． 16．①③④
三、解答题：（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解:（Ⅰ）由条件得，又时，， ………………3分
故数列构成首项为1，公比为的等比数列．
从而，即． ………………………………………………………6分
（Ⅱ）由得 ………………………………………………8分
，
两式相减得：， …………………………10分
故 ……………………………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意得，得
由，得
由得 ……………………2分
师资力量(优秀)
师资力量（非优秀）
基础设施建设（优秀）
20
21
基础设施建设（非优秀）
20
39
因为，
所以没有90﹪的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关.…5分
（Ⅱ）,,得到满足条件的
有：，，，， ……………………………8分
故的分布列为
1
3
5
7
故 ………………………………12分
B
D
F
(第19题图)
A
C
E
z
x
y
19．（本小题满分12分）
（I）证明：连结
四边形是菱形，得
在中，，，
满足得
平面…………5分
（II）分别以为轴，以为轴，连结与 中点作为轴
,,,得
取的中点，则
面的法向量为： ………………………………8分
设面的一个法向量为：
得得 ………………………………10分
由 ………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（I）设,则由得
G
A
B
D
E
（第20题图）
x
y
又由得
即 …………………………4分
（Ⅱ）设，，
由得：，，
直线GA 的方程为：即：
直线GB 的方程为： 即：
所以直线AB的方程为 即：……………………………6分
令，得，，又，所以
令，则:：
联立，消整理可得 ………………………………8分
，
用代得，
解得，，即或 ………………………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）
因为在处的切线平行于轴，所以，所以； ………3分
（II）
（i）
若，即时，则由得
当时，；当时，；
所以在单调递减，在单调递增.
若，则由得或
构造函数，则
由得，所以在单调递减，在单调递增.
，所以（当且仅当时等号成立）
①若，，在单调递增.
②若或，
当时，；当时，；
所以在单调递减，在单调递增. ………8分
（ii）若，在单调递减，在单调递增.
，令
则，令
在单调递减，
，
所以存在唯一的使得，
所以在单调递增，在单调递减
故当时， 又
所以
所以当时， ………………………………
12分
22．（本题满分10分）
解：（1）由得，
所以曲线的普通方程为 …………………………………………2分
把，，代入
得
化简得曲线的极坐标方程为 ………………………………5分
（2）依题意可设
曲线的极坐标方程为
将代入曲线的极坐标方程得，解得
将代入曲线的极坐标方程得 …………………………8分
所以 ……………………………………………………10分
23．（本题满分10分）
解：（1）当时，不等式即为
若，则,得，舍去；
若，则，得；
若，则，得.
综上，不等式的解集为. ………………………………………5分
（2）设，则
易得， …………………………………………………8分
解得：
，所以，满足条件的最小的整数的值为1. …………………………10分