安徽省望江中学2013届高三上学期第五次月考试题数学（理）试题 9页

望江中学2012—2013学年高三第五月考 数学试题 (理科) ‎ 第Ⅰ卷（选择题，共50分）‎ 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卷的表格内。‎ ‎1．复数的的共轭复数是( )‎ ‎ A． B．— C．i D．—I ‎ ‎2．定义运算（ ）‎ ‎ A．(0, 1) B．(-¥, 1) C．(0, 1) D．[1, +¥]‎ ‎3．已知数列满足，且，其前项之和为，则满足不等 ‎ 式的最小整数是（ ）‎ A．5　　　　 B．‎6　　 ‎ C．7　　　 D．8‎ x A B P y O ‎4. 函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（ ） ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ②若；‎ ‎③若m⊥α，m⊥n，则n∥α； ④若 其中，真命题的序号是( )‎ ‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎6．已知O为原点，点A，B的坐标分别为（a，0），（0，a），a是正的常数，点P在线段AB上，且，则的最大值是 （ ）‎ ‎ A．a 　　 B．‎2a 　　 　 C．a2 　 D．‎‎3a ‎7．已知函数f(x)的导函数的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是右图中的( )‎ ‎8. 已知向量与向量的夹角为，若向量且，则的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9．已知定义在R上的函数f(x)不恒为零,且满足，,[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ 则f(x) （ ）‎ ‎ A．是奇函数，也是周期函数 B．是偶函数，也是周期函数 ‎ C．是奇函数，但不是周期函数 D．是偶函数，但不是周期函数 ‎10．如左图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界 ‎ 上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可有 ‎ 是右图中的( )‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。‎ ‎11. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 。‎ ‎12．点所在平面区域的面积是 。‎ ‎13．三视图如下的几何体的体积为 。‎ ‎14．由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列，试在无穷等比数列 ，，，…中找出一个无穷等比的子数列，使它所有项的和为，则此子数列的通项公式为__________．‎ ‎15. 设是正数，且，，，则 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。‎ ‎16．（12分）已知函数以，其相邻两个最值点的横坐标之差为2π．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c满足（‎2a-c）cosB=bcosC，求函f（A）的值域．‎ ‎17.(12分) 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，是的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：面面；‎ ‎（Ⅱ）求与所成的角余弦值；　　　　　　　　‎ ‎18．（ 12分）某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课。对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：‎ ‎（Ⅰ）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．‎ ‎19. （13分）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立.‎ ‎（Ⅰ）求函数的表达式；‎ ‎（Ⅱ）求证：. ‎ ‎ ‎ ‎20.（12分）若椭圆的离心率等于，抛物线的焦点在椭圆的顶点上。‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过的直线与抛物线交P , Q两点，又过P , Q作抛物线的切线， 当时，求直线的方程.‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎21．（13分）已知 ‎ ‎ ‎ （Ⅰ）求证：数列是等比数列；‎ ‎ （Ⅱ）当n取何值时，bn取最大值，并求出最大值；‎ ‎ （Ⅲ）若恒成立，求实数t的取值范围．‎ 参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 答案 D C C A D C A C B A 二、填空题 ‎11． 12. 4 13. 1 14. 错误！未找到引用源。 15. ‎ 三、解答题 ‎16．（1） ‎ ‎∵ ‎ ‎∴的单调递增区间为 ‎ ‎（2）∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴ ‎ ‎17. 证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 ‎.‎ ‎（Ⅰ）证明：因 由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.　 　‎ ‎（Ⅱ）解：因 ‎ ‎ ‎18．解:(1) 3名学生选择的选修课互不相同的概率: ;‎ ‎(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为,则,‎ ‎,,.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望 ‎19. （Ⅰ）解：由已知得：. ‎ 由为偶函数，得为偶函数，‎ ‎ 显然有. ‎ ‎ 又，所以，即. ‎ ‎ 又因为对一切实数恒成立，‎ 即对一切实数，不等式恒成立. ‎ ‎ 显然，当时，不符合题意. ‎ ‎ 当时，应满足 ‎ ‎ 注意到 ，解得. ‎ ‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）证明：因为，所以. ‎ 要证不等式成立,‎ 即证. ‎ ‎ 因为, ‎ ‎ 所以 ‎ .‎ ‎ 所以成立. ‎ ‎20.解：(1)由椭圆方程得，，所以， …2分 ‎ 由题意得：抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即 ‎ ‎ 所以 抛物线方程为 ………………5分 ‎(2) 可判断直线的斜率存在，设直线的方程为 ‎ ‎ 设坐标为 ‎ ‎ 联立 整理得 ‎ ‎21． 解：（I）∵，，，‎ ‎ ∴． ．‎ 又，可知对任何，，所以．…………2分 ‎∵，‎ ‎ ∴是以为首项，公比为的等比数列．………4分 ‎（II）由（I）可知= （）．‎ ‎ ∴．‎ ‎ ．……………………………5分 ‎ 当n=7时，，；‎ ‎ 当n<7时，，；‎ ‎ 当n>7时，，．‎ ‎ ∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．……8分 ‎ （III）由，得 （*）‎ ‎ 依题意（*）式对任意恒成立，‎ ‎ ①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．…………9分 ‎　　　　 　②当t<0时，由，可知（）．‎ ‎　　　　　　 而当m是偶数时，因此t<0不合题意．…………10分 ‎　　　　 　③当t>0时，由（）,‎ ‎ ∴　∴． （）……11分 ‎　　　　　　 设 （）[来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎　　　　　　∵ =,[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎　　　　　　∴．‎ ‎　　　　　　∴的最大值为．‎ ‎　　　　　　所以实数的取值范围是．‎ ‎ ‎ ‎ ‎