2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：28 99页

（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题） 12.设 是双曲线 的左右焦点， 是坐标原点，过 的一条直线与双 曲线 和 轴分别交于 两点，若 ， ，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由条件得到 = ，连接 A ，在三角形 中，由余弦定理可得 A ， 再由双曲线定义 A =2a，可得 . 【详解】∵ ，得到| ，∴ = ，又 ，连接 A ， ，在三角形 中，由余弦定理可得 A ， 又由双曲线定义 A =2a，可得 ，∴ = ， 故选 D. 【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求 法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题. （山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题） 10.如果 是抛物线 上的点，它们的横坐标 ， 是抛物线 的焦点， 若 ，则 （ ） A. 2028 B. 2038 C. 4046 D. 4056 【答案】B 【解析】 【分析】 由抛物线性质得|PnF| xn+1，由此能求出结果． 【详解】∵P1，P2，…，Pn 是抛物线 C：y2＝4x 上的点， 它们的横坐标依次为 x1，x2，…，xn，F 是抛物线 C 的焦点， , ∴ ＝（x1+1）+（x2+1）+…+（x2018+1） ＝x1+x2+…+x2018+2018 ＝2018+20=2038． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线中一组焦半径和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物 线的性质的合理运用． （山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（文科）试题） 3.已知抛物线 的准线与圆 相切，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线准线与圆 x2+y2﹣2x﹣8＝0 相切，知 1+ ＝3，解得 p＝4,即得到方程． 【详解】圆 x2+y2﹣2x﹣8＝0 转化为（x﹣1）2+y2＝9，抛物线 y2＝2px（p＞0）的准线为 x ＝﹣ ， ∵抛物线 y2＝2px（p＞0）的准线与圆 x2+y2﹣2x﹣8＝0 相切， ∴1+ ＝3，解得 p＝4． 抛物线方程为：y2＝8x． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算 求解能力，考查数形结合思想，注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径． （山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题） 10.已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一点， ，当 周长最小时， 所在直 线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本道题绘图发现三角形周长最小时 A,P 位于同一水平线上，计算点 P 的坐标，计算斜率， 即可。 【详解】结合题意，绘制图像 要计算三角形 PAF 周长最小值，即计算 PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN， 所以 ，故当点 P 运动到 M 点处，三角形周长最小，故此时 M 的坐标为 ，所以斜率为 ，故选 A。 【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等。 （山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题） 4.双曲线 ： ，当 变化时，以下说法正确的是（ ） A. 焦点坐标不变 B. 顶点坐标不变 C. 渐近线不变 D. 离心率不变 【答案】C 【解析】 【分析】 本道题结合双曲线的基本性质，即可。 【详解】当 由正数变成复数,则焦点由 x 轴转入 y 轴，故 A 错误。顶点坐标和离心率都会随 改变而变，故 B,D 错误。该双曲线渐近线方程为 ，不会随 改变而改变，故选 C。 【点睛】本道题考查了双曲线基本性质，可通过代入特殊值计算，即可。难度中等。 （福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题） 9.已知 是双曲线 ： 的右焦点，直线 与双曲线交于 ， 两点，且 ，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分别计算出 M,N,F 坐标，然后结合 ，代入坐标，计算，即可。 【详解】分别计算 M,N 的坐标,得到 ,结合 ，得到 ，所以 结合 ，得到 ,所以 ，故选 A。 【点睛】本道题考查了向量坐标运算，难度中等。 （福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学文科试题） 13.已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则 的渐近线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 本道题结合焦点坐标,计算出 m，即可。 【详解】 ,解得 ,所以双曲线方程为 ,所以渐近线方程为 【点睛】本道题考查了双曲线的基本性质，难度较小。 （湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题） 8.如图，点 为双曲线 的右顶点，点 为双曲线上一点，作 轴，垂 足为 ，若 为线段 的中点，且以 为圆心， 为半径的圆与双曲线 恰有三个公共点， 则 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设 A 的坐标（a，0），求得 B 的坐标，考虑 x＝2a，代入双曲线的方程可得 P 的坐标，再由 圆 A 经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得 a＝b，进而得到双曲线的离心率． 【详解】由题意可得 A（a，0）， A 为线段 OB 的中点，可得 B（2a，0）， 令 x＝2a，代入双曲线的方程可得 y＝± b， 可设 P（2a， b）， 由题意结合图形可得圆 A 经过双曲线的左顶点（﹣a，0）， 即|AP|＝2a，即有 2a ， 可得 a＝b，e ， 故选：A． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力， 属于中档题． （湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题） 12.设 ， 是抛物线 上的两个不同的点， 是坐标原点，若直线 与 的斜率之积为 ，则（ ） A. B. 以 为直径的圆的面积大于 C. 直线 过抛物线 的焦点 D. 到直线 的距离不大于 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知分类求得 MN 所在直线过定点（2，0），结合选项得答案． 【详解】解：当直线 MN 的斜率不存在时，设 M（ ，y0），N（ ，﹣y0）， 由斜率之积为 ，可得 ，即 ， ∴MN 的直线方程为 x＝2； 当直线的斜率存在时，设直线方程为 y＝kx+m， 联立 ，可得 ky2﹣y+m＝0． 设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 则 ， ， ∴ ，即 m＝﹣2k． ∴直线方程为 y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）． 则直线 MN 过定点（2，0）． 则 O 到直线 MN 的距离不大于 2． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线 位置关系的应用，是中档题． （辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学 期期末考试数学（文）试题） 5.过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线，与抛物线在第一象限内交于点 ，若 ，则 （ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 A ，根据抛物线的定义知 ， 又 ，联立即可求出 p. 【详解】设 A ，根据抛物线的定义知 , 又 ，联立解得 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及斜率公式，属于中档题. （山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题） 5.若双曲线 与直线 有交点,则其离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 双曲线的焦点在 x 轴，一条渐近线方程为 ，只需这条渐近线比直线 的斜率大， 即 ，选 C. （福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学文科试题） 20.在平面直角坐标系 中，过动点 作直线 的垂线，垂足为 ，且满足 ，其 中 为坐标原点，动点 的轨迹为曲线 . （Ⅰ）求曲线 的方程； （Ⅱ）过点 作与 轴不平行的直线 ，交曲线 于 ， 两点，点 ，记 ， ， 分别 为 ， ， 的斜率，求证： 为定值. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）详见解析 【解析】 【分析】 解法一：（I）用 x,y 分别表示 ，结合 ，构造等式，即可。（II） 设出直线 l 的方程，代入抛物线方程，设出 M,N 的坐标，结合根与系数关系，计算 ， 即可。解法二：（I）设出 P,Q 坐标，结合 ，建立方程，即可。（II）设出直线 l 的方程，代入抛物线方程，设出 M,N 的坐标，结合根与系数关系，计算 ，即可。解法 三（I）利用向量数量积关系，建立方程，计算结果，即可。（II）与解法一、二相同。 【详解】解法一： （Ⅰ）设 ，则 ， ， ， . ∵ ， ∴ ， 代入整理得 ， 曲线 的方程为 . （Ⅱ）设直线 的方程为 ， ， 联立 ， 整理得 ， 设 ， ， 则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 为定值. 解法二：（Ⅰ）设 ，则 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ . 整理得 ， 曲线 的方程为 . （Ⅱ）依题意得，直线 的方程为 ， ， 联立 ， 整理得 ， 设 ， ， 则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 为定值. 解法三：（Ⅰ）设 ，则 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ . 整理得 ， 曲线 的方程为 . （Ⅱ）同解法一，解法二. 【点睛】本小题主要考查直线、抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求 解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决 问题的能力. （福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题） 20.已知抛物线 ： 与椭圆 ： 有相同的焦点 ，且两曲线相 交于点 ，过 作斜率为 的动直线 ，交椭圆 于 ， 两点. （Ⅰ）求抛物线 和椭圆 的方程； （Ⅱ）若 为椭圆 的左顶点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值，并 求出该定值. 【答案】（Ⅰ）抛物线 的方程为 ；椭圆 的方程为： （Ⅱ）4 【解析】 【分析】 （I）把点坐标代入抛物线方程，计算 p 值，即可。结合椭圆性质，建立方程，即可。 （II）设出直线 l 的方程，联解椭圆方程，设出 M，N 坐标，用坐标表示 ，结合根与系 数关系，即可求得定值。 【详解】解法一：（Ⅰ）∵点 在抛物线 ： 上， ∴ ，解得 ， ∴抛物线 的方程为 . ∴椭圆的左、右焦点分别为 和 . ， ∴ ， ， 所以椭圆 的方程为： . （Ⅱ）设 的方程为 . 由 ，消去 整理得： . 设 ， ，则 ， 故 . 综上， . 解法二：（Ⅰ）∵点 在抛物线 ： 上， ∴ ，解得 ， ∴抛物线 的方程为 . ∴椭圆的左、右焦点分别为 和 ，即 . ∴ . 又点 在椭圆 上， ∴ ， 即 ， 解得 ， （舍去）. ∴ ， ， 所以椭圆 的方程为： . （Ⅱ）同解法一. 【点睛】本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、 推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能 力. （广西桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题） 10.过点 的直线交抛物线 于 、 两点(异于坐标原点 ),若 ， 则该直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设直线 AB 的方程为 联立 ，化为 ，即 （*）． 或 满足（*） 但是当 直线方程为 时，与抛物线的有关交点为原点，不满足 ，应该 舍去． ∴该直线的方程为 即 ． 故选 B． （广西桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题） 8.已知双曲线 的左右焦点分别为 , 为双曲线 上第二象限内一点， 若直线 恰为线段 的垂直平分线，则双曲线 的离心率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设 ，渐近线方程为 ，对称点为 ，即有 ，且 ，解得 ，将 ，即 ，代入双曲线的方程可得 ， 化简可得 ，即有 e2=5，解得 ，故选 C． 点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率 之积为 ，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题；设出 的 坐标，渐近线方程为 ，对称点为 ，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜 率之积为 ，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值. （四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试数学理试题） 10.已知 F1，F2 是焦距为 8 的双曲线 E： 的左右焦点，点 F2 关于双曲线 E 的一条渐近线的对称点为点 A，若｜AF1｜＝4，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知 AF2＝ =4 ，结合点到直线的距离与双曲线中 a、b、c 间得关系得到 ，解得结果. 【详解】如下图，因为 A 为 F2 关于渐近线的对称点，所以，B 为 AF2 的中点，又 O 为 F1F2 的中点，所以，OB 为三角形 AF1F2 的中位线，所以，OB∥AF1，由 AF2⊥OB，可得 AF2⊥AF1， AF2＝ =4 ，点 F2（4,0），渐近线： x， 所以 ，解得：b＝2 ， ＝2，所以离心率为 e＝2, 故选 C. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学 生的计算能力，属于中档题． （四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试数学理试题） 7.抛物线 的焦点为 F，P 是抛物线上一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，若｜PF｜ ＝ ，则△PQF 的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由条件结合抛物线定义可知 P 的横坐标为 x＝3 ，代入抛物线方程得点 P 的纵坐标的绝对 值，则可求△PQF 的面积. 【详解】依题意，得 F（ ，0），因为｜PF｜＝4 ，由抛物线的性质可知： ｜PQ｜＝4 ，即点 P 的横坐标为 x＝3 ，代入抛物线 ，得 点 P 的纵坐标的绝对值为：｜y｜＝2 ， 所以，△PQF 的面积为：S＝ ， 故选 D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单应用．涉及抛物线的焦点问题时一般要考虑到抛物线 的定义，考查计算能力． （江西省新余市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 11. 是经过双曲线 焦点 且与实轴垂直的直线, 是双曲线 的两个顶 点,若在 上存在一点 ,使 ,则双曲线离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题 设 可 知 , 即 ,解之得 ,即 ,故 .应选 A. 考点：双曲线的几何性质及运用. 【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和基本不等式的综合运用，属于难 题．本题利用双曲线的几何特征,建立关于 为变量的正切函数的函数关系式，通过计算 求得 , 即 ,由此计算得双曲线的离心率 ． （湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测理科数学试题） 11.已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， .若直线 与 交于 另一点 ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本道题结合抛物线性质，分别计算 A,B 的坐标，结合两点距离公式，即可。 【详解】结合抛物线的性质可得 ，所以抛物线方程为 ，所以点 A 坐标为 ，所以直线 AB 的方程为 ，代入抛物线方程，计算 B 的坐标为 ， 所以 ，故选 C。 【点睛】本道题考查了抛物线性质以及两点距离公式，难度中等。 （湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测理科数学试题） 6.已知 ， 是双曲线 的上、下焦点，点 是其一条渐近线上一点，且以 为直 径的圆过点 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本道题结合双曲线的性质，计算渐近线方程以及圆的方程，计算面积，即可。 【详解】渐近线方程为 ，该圆的方程为 ，则其中一个点 P 的坐标为 ， 所以 ，故选 C。 【点睛】本道题考查了双曲线性质以及圆方程计算方法，难度中等。 （湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题） 11.已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， .若直线 与 交于另一点 ，则 的值是（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【分析】 由点 A 在抛物线上得点 A 坐标，又 F(2,0)，设直线 AF 方程并与抛物线方程联立，利用抛物 线的定义即可得到弦长 . 【详解】法一：因为 在 上，所以 ，解得 或 （舍去），故直 线 的方程为 ，由 ，消去 ，得 ，解得 ， ， 由抛物线的定义，得 ，所以 . 故选 . 法二： 直线 过焦点 ， ，又 ， 所以 ， 故选 . 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题，考 查学生计算能力. （湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题） 7.已知 ， 是双曲线 的上、下焦点，点 是其一条渐近线上一点，且以 为直 径的圆经过点 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由双曲线方程得到渐近线方程和以 为直径的圆的方程，设点 P 坐标，根据点 P 在渐近 线上和圆上，得点 P 坐标，从而可得三角形的面积. 【详解】等轴双曲线 的渐近线方程为 ， 不妨设点 在渐近线 上，则 以 为直径的圆为 又 在圆 上， 解得 ， ， 故选： . 【点睛】本题考查双曲线方程和渐近线的简单应用，考查三角形面积的求法，属于基础题. （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题） 11.过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线 于 两点（ 均不与坐标原点重 合），已知抛物线的焦点 到直线 距离的最大值为 3，则 （ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 设直线 的方程为 ，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，求得 ，再由 ，列出方程，求得 .进而得到抛物线的焦点 到直线 距离的 最大值，求得 的值，得到答案。 【详解】设直线 的方程为 ， ，把直线方程代入抛物线方程， 得 ，所以 ， . 因为 ，所以 ，即 ，解得 ，所以 .所以直线 恒过点 ，则抛物线的焦点 到直线 距离的最大值为 ，即 . 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理应 用抛物线的几何性质，以及把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求解是 解答的关键，着重考查了分析问题与解答问题的能力，属于中档试题。 （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题） 4.以双曲线 的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题可知，所求双曲线的顶点坐标为 ，又由双曲线的渐近线互相垂直，所以 ，进 而可求解双曲线的方程，得到答案。 【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为 ，又因为双曲线的渐近线互相垂直， 所以 ，则该双曲线的方程为 . 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双 曲线的标准方程和简单的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算 能力，属于基础题。 （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题） 11.过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线 于 两点（ 均不与坐标原点重 合），已知抛物线的焦点 到直线 距离的最大值为 3，则 （ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 先设直线 的方程为 ， ，联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得 ， ，再由 ，即可求出 ，从而可确定结果. 【详解】设直线 的方程为 ， ，把直线方程代入抛物线方程，得 ，所以 ， .因为 ，所以 ，即 ，解得 ，所以 ，所以直线恒过点 ，则抛物线的焦点 到直 线 距离的最大值为 ，即 . 【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常情况下要先设直线方程与交点坐标，联 立直线与曲线方程，结合韦达定理和题中条件，即可得到参数之间关系，属于中档题型. （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题） 4.以双曲线 的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知双曲线先求出所求双曲线的顶点坐标 ，再由所求双曲线的渐近线互相垂直，可 得 ，从而可得双曲线方程. 【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为 ，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所 以 ，则该双曲线的方程为 . 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型. （河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题） 6.已知双曲线 ，它的一个顶点到较近焦点的距离为 1 ，焦点到渐近线 的距离是 ，则双曲线 的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得 c﹣a＝1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得 b ， 由 a，b，c 的关系，可得 a，进而得到所求双曲线的方程． 【详解】双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为 1， 可得 c﹣a＝1， 由双曲线的渐近线方程为 y x， 则焦点（c，0）到渐近线的距离为 d b ， 又 c2﹣a2＝b2＝5， 解得 a＝2，c＝3， 所以双曲线的方程为 1． 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用两点的距离公式和点到直线的距离公式， 考查运算能力，属于基础题． （广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题） 8.已知双曲线 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为 ，点 在 上，则 的方 程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先排除渐近线不含 的选项，然后将点 的坐标代入剩余选项中，符合的即是正确选项. 【详解】由于 C 选项的中双曲线的渐近线方程为 ，不符合题意，排除 C 选项.将点 代入 A,B,D 三个选项，只有 B 选项符合，故本题选 B. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查点在曲线上的概念，属于基础题. （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题） 14.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为 ____； 【答案】2 【解析】 【分析】 根据渐近线方程求得 的值，根据离心率的公式求得双曲线的离心率. 【详解】由于双曲线的一条渐近线为 ，故 .所以双曲线离心率 . 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题） 6.若点 在抛物线 上，记抛物线 的焦点为 ，则直线 的斜率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将点 的坐标代入抛物线方程，求得 的值，由此求得抛物线焦点 的坐标，根据两点求斜率 的公式求得直线 的斜率. 【详解】将 坐标代入抛物线方程得 ，故焦点坐标 ，直线 的斜率 为 ，故选 C. 【点睛】本小题主要考查待定系数法求抛物线的方程，考查抛物线的几何性质，考查已知两 点坐标求直线斜率的公式.属于基础题. （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题） 11.已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ，坐标原点 O 关于点 的 对称点为 P，点 P 到双曲线的渐近线距离为 ，过 的直线与双曲线 C 右支相交于 M、N 两 点，若 ， 的周长为 10，则双曲线 C 的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 依题意得到 点的坐标，利用点 到渐近线的距离列方程，求得 的值，根据双曲线的定义得 周长的表达式，由此列方程求得 ， 的值，进而求得双曲线的离心率. 【详解】依题意得点 P ， ，由双曲线的定义得 周长为 ，由此得 ， ，故 ． 【点睛】本小题主要考查点和点对称的问题，考查点到直线距离公式，考查双曲线的定义以 及双曲线离心率的求法，考查分析与求解的能力.属于中档题.双曲线 的渐近线方程 是 .根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为 . （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题） 8.若点 在抛物线 上，记抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线的另一交点为 B，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将点 的坐标代入抛物线方程求得 的值，由此求得焦点 的坐标，由此求得 的值，联立 直线 的方程与抛物线的方程求得 点的坐标，由此求得 的值，而 的夹角为 ，最后利用数量积的运算求得 的值 【详解】依题意易得 ， ，由抛物线的定义得 ，联立直线 AF 的方程 与抛物线的方程消去 y 得 ，得 , 则 ,故 .故选 D. 【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线交点坐标的求法，考查 了向量数量积的运算.属于基础题. （福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题） 11.双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，过 作一条直线与两条渐近线 分别相交于 两点，若 ， ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示，连接 ，又由 ，且 为 的中点， 所以 ， 因为 ，即 ，所以 A 为线段 的中点， 又由于 为 的中点，所以 ，所以 ，所以 ， 又由直线 OA 与 OB 是双曲线的两条渐近线，则 ， 所以 ，则 ， 所以双曲线的离心率为 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答本题的关 键在于将问题的几何要素进行合理转化，得到 的关系式，着重考查了推理与计算能力， 属于中档试题. （福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题） 6.已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上， 的中点坐标为 ，则 的方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，根据点 A 在曲线 C 上，AF 的中点坐标为 ，利用中点公式可得，可得 ， 代入抛物线的方程，求得 ，即可得到抛物线的方程. 【详解】由抛物线 ，可得焦点为 ， 点 A 在曲线 C 上，AF 的中点坐标为 ， 由中点公式可得，可得 ， 代入抛物线的方程可得 ，解得 ， 所以抛物线的方程为 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据题 设条件和中点公式，求得点 A 的坐标，代入求得 的值是解答的关键，着重考查了推理与运 算能力，属于基础题. （福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检理科数学试题） 10.直线 与双曲线 ： 的一条渐近线平行， 过抛物线 ： 的焦点， 交 于 两点，若 ，则 的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，根据双曲线的渐近线方程，求得直线 的方程为 ，联立方程组，利用根与系 数的关系，得到 ，再根据抛物线的定义得到弦长 ， 求 得 ，即可求解双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为 ，设直线 的方程为 又由抛物线 的焦点 ，则 ，即 ， 所以直线 的方程为 设 ，联立 ，得 ， 所以 ， 根据抛物线的定义可知 ，即 ，即 ， 又由 ，所以 ，所以 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟记双曲线的几何性质，以及 抛物线的标准方程与几何性质和抛物线的焦点弦的性质的合理应用是解答的关键，着重考查 了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题） 9.已知双曲线 的一个顶点到其渐近线的距离等于 ，则 的离心率为 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 求出双曲线 的渐近线方程，从而可得顶点到渐近线的距离，进而可得 c， b 的关系，从而可求双曲线的离心率． 【详解】由题意，双曲线 的渐近线方程为 y＝± x 即 bx±ay=0，∴顶点到渐近线的 距 离 为 ∵ 双 曲 线 （ a ， b ＞ 0 ） 的 顶 点 到 渐 近 线 的 距 离 等 于 ∴ = ∴c=2b，∵ ，故选 B. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式的运用，考查双曲线的几 何性质，属于中档题． （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题） 15.已知 为双曲线 的右焦点，若直线 与 交于 ， 两点，且 ，则 的离心率等于______. 【答案】 【解析】 【分析】 本道题先设出 A,B 坐标,然后利用直角三角形性质,建立等式,计算 e，即可。 【详解】设 结合直角三角形满足的定理可知, ,将 AB 直线方程,代入双曲线方程,得到: , 而 ,结合 代入 AB 中,得到 ,解得 ,即可. 【点睛】本道题考查了直线与双曲线位置关系问题，难度较大。 （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题） 11.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与 交于 ， 两点，交 于 ， 过 ， 分别作 轴的平行线，分别交 于 ， 两点.若 ， 的面积等于 ，则 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本道题结合题意，得出 的值，然后探究 和 GB 的关系，进一步计算出 NB，将直线 方程代入抛物线方程，利用根与系数关系，计算 p 值，即可。 【详解】结合抛物线的性质可知 ，所以 结合 得到 对于三角形 AGB，该三角形为直角三角形，所以 ，代入，得到 故 ，所以直线 AB 的斜率为 ，设直线 AB 方程为 ，代入抛物线方程， 得到 ，而 B 点横坐标为 ，A 点横坐标为 故 ，计算 ，所以抛物线方程为 ，故选 D。 【点睛】本道题考查了抛物线的性质，难度较大。 （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题） 5.已知双曲线 的一个焦点为 ，一条渐近线的斜率为 ，则该双曲 线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由双曲线渐近线方程为 ，可得到 ，结合 与 ，可求出 、 ，进而 得到答案。 【详解】因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ， 则 ，解得 ， ，故双曲线方程为： . 故选 A. 【点睛】本题考查了双曲线方程的求法，考查了双曲线的渐近线，属于基础题。 （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题） 11.已知抛物线 与点 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于两点 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 联立直线方程与抛物线方程，设 两点坐标，表示出 ，求出 的值 【详解】抛物线 的焦点坐标为（1，0） 则直线方程为 设 , 联立方程 可得 , , , 则 即 , , 故有 即 , 故选 A 【点睛】本题考查了直线与抛物线之间的位置关系，运用设而不求的方法，表示出点坐标求 出结果，需要掌握此类题目的解题方法，并能熟练计算出结果 （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题） 6.若点 是以 为焦点的双曲线 上一点，且满足 ， ，则此双曲 线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由双曲线定义和勾股定理计算出双曲线离心率 【详解】 ， , ， 则 , , 则 故选 B 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，运用双曲线定义和勾股定理即可计算出结果，需要 掌握解题方法 （安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题） 10.已知双曲线 的左、右焦点分别 ，以线段 为直径的圆与双曲 线 在第一象限交于点 ，且 ,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意知， ，三角形 为等边三角形，从而可以得到 ， 即可求出离心率。 【详解】由题意知， ， ，三角形 为等边三角形， 则 ， ，则 ，解得 ， 故离心率为 ，答案为 A. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率的求法，属于基础题。 （辽宁省丹东市 2018 年高三模拟（二）理科数学试题） 16.双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为 ，以 为圆心， 为半径的圆与 的右支相交于 ， 两点，若△ 的一个内角为 ，则 的渐近线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 由 题 意 可 得 ， 又 ， 的 一 个 内 角 为 60° ， 即 有 △ PFB 为 等 腰 三 角 形 ， ，运用双曲线的定义和 的关系，计算即可得到所求． 【详解】如图,设左焦点为 F1，圆于 x 轴的另一个交点为 B， ∵ 的一个内角为 ， ∴ ， ， 在 △ PFF1 中,由余弦定理可得 . ⇒ ， ∴ . ∴ 的渐近线方程为 ，即 . 故答案为： . 【点睛】求双曲线的渐近线方程时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式，利用 ，通过解方程求解 即可． （河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题） 7.已知抛物线 的焦点为 ，点 为 上一动点， ， ，且 的 最小值为 ，则 等于（ ） A. B. 5 C. D. 4 【答案】C 【解析】 分析：先设 ，再根据 的最小值为 求出 p 的值，再求|BF|的长得解. 详解：设 ，则 因为 ，所以 或 （舍去）. 所以 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查抛物线的基础知识.(2)解答本题的关键是转化 的最小值为 ， 主要是利用函数的思想解答.处理最值常用函数的方法，先求出函数|PA|的表达式 再求函数在 的最小值. （河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题） 16.已知双曲线 C： （a＞0，b＞0），圆 M： ．若双曲线 C 的一条渐近 线与圆 M 相切，则当 取得最小值时，C 的实轴长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】 设 渐 近 线 方 程 为 ， 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得 ， 则 ，利用导数研究函数的单调性可得 在 上递减，在 上递增， 时， 有最小值，从而可得结果. 【详解】设渐近线方程为 ，即 ， 与 相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， ， ， ， 时， ； 时， ， 在 上递减，在 上递增， 时， 有最小值， 此时实轴 ，故答案为 4. 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线、直线与圆的位置关系以及利用导数研究函数的单调 性与最值，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 解答直线与圆的位置关 系的题型，主要是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系. （湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题） 12.已知直线 l1，l2 是双曲线 C： 的两条渐近线，点 P 是双曲线 C 上一点，若点 P 到 渐近线 l1 的距离的取值范围是 ，则点 P 到渐近线 l2 的距离的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设出点 P 坐标,写出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式和点 P 在双曲线上可得到 点 P 到两渐近线的距离乘积为定值，利用点 P 到直线 的距离的范围可得到 距离的范围. 【详解】设点 ，由题可设渐近线 ，渐近线 ，由点 到直线 的 距离 ，点 P 到直线 的距离 ，有 ， 又 ，即 ，则 ，则 ，由 与 成反比.且 ，所以 ，故选 A 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，双曲线上的点到渐近线 的距离之积为定值，是中档题． （湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考（四）数学（理）试题） 15.已知双曲线 ，过 轴上点 的直线与双曲线的右支交于 ， 两点（ 在 第一象限），直线 交双曲线左支于点 （ 为坐标原点），连接 .若 ， ，则该双曲线的渐近线方程为____ . 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知： ， 关于原点对称，得到 ，分别求出相应的斜率，再根据离心 率公式，即可求解. 【详解】由题意可知： ， 关于原点对称，∴ ， 又由 ， ，则 ， ，∴ ， 渐近线方程为 . 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据双 曲线的对称性，得到 关于原点对称，得到 ，分别求出相应的斜率，求得 的 值是解答的关键，重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. （吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题） 10.已知倾斜角为 的直线 交双曲线 于 两点，若线段 的中点为 ，则 的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设 ,因为 AB 的中点为 P(2,-1) ,所以 又 两式相减并整理可得 解得 ，从而离心率 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范 围)，常见有两种方法：①求出 a，c，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 a，b， c 的齐次式，结合 b2＝c2－a2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)． （河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 9.若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的离 心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】双曲线 的一条渐近线不妨为： ， 圆 的圆心(2,0)，半径为：2， 双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2， 可得圆心到直线的距离为： ， 解得： ,可得 e2=4，即 e=2. 故选 B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题. （河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 12.已知双曲线 （ ）的左、右焦点分别为 ， 是双曲线 上的两点， 且 , ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，设 ， 是双曲线 左支上的两点， 令 ，由双曲线的定义可得 ． 在 中，由余弦定理得 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）． ∴ ， ∴ 为直角三角形，且 ． 在 中， ， 即 ， ∴ ， ∴ ．即该双曲线的离心率为 ．选 B． 点睛： (1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或 不等式，利用 和 转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心 率的值或取值范围． （2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量． （河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 15.【2018 年全国卷Ⅲ文】已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直 线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________． 【答案】2 【解析】 分析：利用点差法进行计算即可。 详解：设 则 所以 所以 取 AB 中点 ,分别过点 A,B 作准线 的垂线，垂足分别为 因为 , 因为 M’为 AB 中点， 所以 MM’平行于 x 轴 因为 M(-1,1) 所以 ，则 即 故答案为 2. 点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设 ， 利用点差法得到 ，取 AB 中点 , 分别过点 A,B 作准线 的垂 线，垂足分别为 ，由抛物线的性质得到 ，进而得到斜率。 （河北省衡水市第十三中学 2019 届高三质检（四）理科数学试题） 16.已知双曲线 的上焦点为 ，下、上顶点分别为 ， ，过点 作 轴的垂 线与双曲线交于 ， 两点， ，连接 交 轴于点 ，若 ， ， 三点共线，则双曲 线的离心率为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】 根据 ，得 ，又由 三点共线，得到 ， 所以 ，整理得 ，即可求解,得到答案. 【详解】设 为坐标原点，因为 垂直于 轴，且 ,所以 ， 根据 ，得 ，即 ， 又由 ， ， 三点共线，知 ， 所以 ，即 ，整理得 ， 所以双曲线的离心率为 ，故答案为 . 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中把又由 三点共线，根据 ，利用相似求得 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力， 属于中档试题． （河北省衡水市第十三中学 2019 届高三质检（四）理科数学试题） 5.已知直线 ： 与抛物线 ： ，则“ ”是“直线 与抛物线 恰有一个公 共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 当 时，直线 与抛物线恰有一个公共点，满足题意；当直线 与抛物线 相切时，联立方 程组，根据 ，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，当 时，直线 与抛物线 相交，恰有一个公共点，满足题意； 当直线 与抛物线 相切时，联立直线 与抛物线方程 ， 消去 ，得 ，则 ，解得 . 故直线 与抛物线 恰有一个公共点时， 或 0.故选 A. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与抛物线位 置关系的判定方法，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题． （江苏省南通市通州区 2018-2019 学年第一学期高三年级期末考试数学（文）） 10.若点 到双曲线 的一条渐近线的距离为 1 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式列出方程求解即可． 【详解】双曲线 的一条渐近线方程为： ， 点 到双曲线 的一条渐近线的距离为 1， 可得： ，解得 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线的求法，点到直线的距离公式的应用， 考查计算能力． （江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考数学（理）试题） 10.以双曲线 上一点 为圆心作圆，该圆与 轴相切于 的一个焦点 ， 与 轴交于 两点，若 ，则双曲线 的离心率是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据圆与 轴相切于 的一个焦点 ，且圆心在双曲线上，可确定圆心坐标和半径，再由弦长 ，即可求出结果. 【详解】因为以双曲线 上一点 为圆心作圆，该圆与 轴相切于 的 一个焦点 ，所以 轴；不妨令 在第一象限，所以易得 ，半径 ； 取 中点 ，连结 ，则 垂直且平分 ，所以 ； 又 ，所以 ，即 ，因此 ，解得 . 故答案为 A 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，根据题意，结合双曲线的性质即可求解，属于常考 题型. （湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题） 4.已知 为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为 ，若右支上有 点 满是 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设 ， ，在 及 中利用余弦定理，分别表示出 .再利用双曲线定 义列方程即可求解。 【详解】设 ， ， 由题可得： , 在 中，由余弦定理可得： ，整理得： . 在 中，由余弦定理可得： ，整理得： . 由双曲线定义得： ，即： .整理得： . 故选:A 【点睛】本题主要考查了余弦定理及双曲线定义，属于基础题。 （湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题） 10.已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴交于点 ，过点 作直线交抛物线 于 两点，若 且 ，则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 假设 存在，设直线 AB 的方程为： ，代入抛物线方程，可得根与系数的关系，由 可求得 ， ，再利用 即可求解。 【详解】当 不存在时，直线与抛物线不会交于两点。 当 存在时，设直线 AB 的方程为： ， ， ， 则有： ， 联立直线与抛物线方程得： ，整理得： ， 所以 ， ，所以 ， ， 又 ，所以 ， 整理得： ，即： .解得： 因为 ，所以 又 ， ，代入 得： . 解得： 故选：B 【点睛】本题主要考查了韦达定理及向量垂直的坐标关系，考查方程思想及抛物线定义，考 查计算能力及转化能力，属于中档题。 （广东省广州市天河区 2019 届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题） 14.已知抛物线 C ： 的焦点为 F ，准线 l 与 x 轴的交点为 A ， M 是抛物线 C 上 的点，且 轴 若以 AF 为直径的圆截直线 AM 所得的弦长为 2 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 由抛物线的定义和简单几何性质可以利用 表示出 三点坐标，再表示出圆的方程与直线 的方程，利用弦长 构造出关于 的方程，求得结果。 【详解】由题意可得大致图形如下： 由 可得： ， ， 由抛物线的对称性可知，取 与 结果一致，不妨令 以 为直径的圆的方程为： ；直线 方程为： 设圆心到直线距离为 ，则 直线 被圆解得弦长为： 本题正确结果： 【点睛】本题考察了抛物线的定义和简单几何性质，以及直线被圆截得的弦长问题。解题关 键是利用直线被圆截得弦长等于 快速构造出关于 的方程。 （广东省广州市天河区 2019 届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题） 11.已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 e，过点 的 直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点，若 ，且 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 如图： ， ， 设 ，则 ， 由双曲线定义可得： ， 故 ，解得 则 在 中，由勾股定理可得： 即 得 故选 点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，依据题意得到直角三角形，本题的关键是求出 三角形三边的长度与 的数量关系，借助勾股定理求出离心率的取值，本题属于中档题，需 要理解关键步骤。 （安徽省淮南市 2019 届高三第一次模拟考试数学（文）试题） 10.已知点 是双曲线 右支上一点， 、 分别是双曲线的左、右焦点， 为 的内心，若 成立，则双曲线的离心率为 A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设圆 M 与 的三边 、 、 分别相切于点 E、F、G，连接 ME、MF、MG，可 得 ， ， 可看作三个高相等且均为圆 I 半径 r 的三角形 利用三角形面 积公式，代入已知式，化简可得 ，再结合双曲线的定义与离心率的公 式，可求出此双曲线的离心率． 【详解】如图，设圆 M 与 的三边 、 、 分别相切于点 E、F、G，连接 ME、 MF、MG， 则 ， ， ，它们分别是 ， ， 的高， ， ，其中 r 是 的内切圆的半径． 两边约去 得： 根据双曲线定义，得 ， 离心率为 故选：C． 【点睛】本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双 曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题． （江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷） 11.设双曲线 的右焦点为 ，过 且斜率为 1 的直线 与 的右支相交不 同的两点，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由过 且斜率为 1 的直线 与 的右支相交不同的两点，则 ，进而可求出 e 的范围. 【详解】要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率 小于直线 即 ，所以 ，所以 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，正确寻找几何量之间的关系是关键，属于基础题. （江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷） 15.已知抛物线 的焦点为 ， ，设 为该抛物线上一点，则 周长的最小值为 ________． 【答案】3 【解析】 【分析】 由抛物线的标准方程， 求出焦点坐标和准线方程，设 为 到准线的距离，利用抛物线的 定义可得 + 即可． 【详解】抛物线 的标准方程为 x2＝4y，p＝2，焦点 ，准线方程为 y＝﹣1．设 到准线的距离为 （即 垂直于准线， 为垂足），设 为 到准线的距离（ 为垂足）， 由抛物线的定义得 + ＝ ，（当且 仅当 共线时取等号）， 故答案为： 3． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题. （陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题） 11.已知抛物线 x2＝16y 的焦点为 F，双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 是双 曲线右支上一点，则|PF|＋|PF1|的最小值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意并结合双曲线的定义可得 ， 然后根据两点间的距离公式可得所求最小值． 【详解】由题意得抛物线 的焦点为 ，双曲线 的左、右焦点分别为 ． ∵点 是双曲线右支上一点， ∴ ． ∴ ，当且仅当 三 点共线时等号成立， ∴ 的最小值为 9． 故选 C． 【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在 解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力， 属于基础题． （广东省汕尾市普通高中 2019 年 3 月高三教学质量检测文科数学试题） 11.已知双曲线 ， F 是双曲线 C 的右焦点， A 是双曲线 C 的右顶点， 过 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 M ， N 两点．若 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用双曲线的简单性质，转化求解推出 a、b、c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】 由题意可知： ， 解得 tan∠MAF=3， 可得： ，可得 c2+2a2-3ac=0，e2+2-3e=0，e＞1，解得 e=2． 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． （广东省江门市 2019 届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题） 10.直角坐标系 中，双曲线 （ ）与抛物线 相交于 、 两点，若 △ 是等边三角形，则该双曲线的离心率 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题干得到点 A 坐标为 ，代入抛物线得到坐标为 ，再将点代入双曲线得 到离心率. 【详解】因为三角形 OAB 是等边三角形，设直线 OA 为 ，设点 A 坐标为 ， 代入抛物线得到 x=2b,故点 A 的坐标为 ，代入双曲线得到 故答案为：D. 【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为 的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 或 转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 ( 的取值范围). （广东省韶关市 2019 届高三 1 月调研考试数学理试题） 8.设点 为双曲线 和圆 的一个交点，若 ，其中 为双曲线 的两焦点，则双曲线 的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 a2+b2＝c2，知圆 C 必过双曲线 E 的两个焦点， ， ＝ ，则|M | ＝c， c，由此能求出双曲线的离心率． 【详解】圆 是以原点 为圆心，以 为半径的圆，则 ，从而有 ， ∴|M |＝c， c，，由双曲线的定义得 ，得离心率为 ， 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件． （广东省韶关市 2019 届高三 1 月调研考试数学理试题） 11.设抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，过点 作斜率为 的直线交抛 物线于 两点，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 联立方程，借助韦达定理即可建立关于 k 的方程，解之即可. 【详解】方法一：（韦达定理消去 ）抛物线的焦点为 ，准线 ，设 ， ， 则 ， ，由 得 ，即有 ①，联立 与 直 线 的 方 程 得 ， 则 有 ② ， ③. 由 ① 、 ② 得 ， 代 入 ② 中 得 ，解得 ，故选 . 方法二：（韦达定理消去 ）设抛物线的准线 ，分别过 作 ， ，由 得 ，则有 .设 、 从而有 .联立 与 直线 的方程得 ，则有 ①， ②，由 则 有 ③， ④，消去 得 ，解得 ，故选 A. 方法三：（几何法）设抛物线 ，分别过 作 ， ，由 得 ，则有 ，则 是 的中点，设 、 ，从而有 . 则 是 的中点，则有 （ 是原点），而 ，则 ，故点 在线段 的垂直平分线上，则 ，从而 ，则 ， ，故 ， 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系问题，考查了韦达定理，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题. （广东省揭阳市 2019 届高三一模数学（文科）试题） 10.过双曲线 两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一 个正方形，则该双曲线的离心率为 A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求交点坐标，再根据题意列方程解得离心率. 【详解】令 得 ,由题意得 ,（负值舍去）， 选 D. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程 或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要 充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. （广东省深圳市 2019 届高三第一次（2 月）调研考试数学理试题） 15.已知点 在 轴上，点 是抛物线 的焦点，直线 与抛物线交于 ， 两 点，若点 为线段 的中点，且 ，则 __________． 【答案】8 【解析】 【分析】 设 ，又 ，由 为 的中点，求得 ，直线 的方程代入 ，得 ，求得点 N 的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解。 【详解】设 ，又 ，因为 为 的中点， 所以点 的坐标为 ，则 ，即 ， 又由 ，则 ，即 ， 直线 的方程为 ，代入 ，得 ， 设 ，则 ，解得 ， 由抛物线的定义得： ，解得： 。 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解 答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解 答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。 （广东省深圳市 2019 届高三第一次（2 月）调研考试数学理试题） 10.已知直线 与双曲线 交于 两点，以 为直径的圆恰好 经过双曲线的右焦点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 通过双曲线和圆的对称性，将 的面积转化为 的面积；利用焦点三角形面积公式可 以建立 与 的关系，从而推导出离心率. 【详解】由题意可得图像如下图所示： 为双曲线的左焦点 为圆的直径 根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 为矩形 又 ，可得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于 的齐次 方程，从而配凑出离心率的形式. （河北省沧州市 2019 年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题） 15.点 为抛物线 的焦点， 为其准线上一点，且 .若过焦点 且与 垂 直的直线交抛物线于 两点，且 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 由焦半径公式可得： ，则 ，据此可得 AB 的方程为： ，EF 的方程为 ，结合题意由 EF 的长度得到关于 p 的方程，解方 程即可求得实数 p 的值. 【详解】由题意结合焦半径公式可得： ， 据此整理可得： ， 据此可知直线 AB 的方程为： ， 直线 EF 的方程为 ， 令 可得 ， 则 EF 的长度为： ， 解得： . 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式，方程思想的应用，直线方程及其应用等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. （河北省沧州市 2019 年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题） 9. 为双曲线 的左焦点，圆 与双曲线的两条渐进线 在第一、二象限分别交于 两 点，若 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 不妨设 ，其中 ，由斜率公式可得 ，由直线垂直的充分必 要条件可知： ，据此可得 ，然后结合双曲线的离心率公式求解离心 率即可. 【详解】不妨设 ，其中 ， 由于 ，故 ， 由于双曲线的渐近线方程为 ， 结合直线垂直的充分必要条件可知： ， 据此可得： ，整理可得 ， 据此可知： ， ， 双曲线的离心率 . 本题选择 C 选项. 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值 范围)，常见有两种方法： ①求出 a，c，代入公式 ； ②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝c2－a2 转化为 a，c 的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可 得 e(e 的取值范围)． （河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸底考试数学（理）试题） 8.若抛物线 上横坐标为 6 的点到焦点的距离等于 8，则焦点到准线的距离是 （ ） A. 6 B. 2 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 由方程可得抛物线的焦点和准线，进而由抛物线的定义可得 6﹣（﹣ ）=8，解之可得 p 值， 进而可得所求． 【详解】由题意可得抛物线 y2=2px（p＞0）开口向右， 焦点坐标（ ，0），准线方程 x=﹣ ， 由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为 6 的点到准线的距离等于 8， 即 6﹣（﹣ ）=8，解之可得 p=4 故焦点到准线的距离为 =p=4 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题． （河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸底考试数学（理）试题） 10.双曲线 的两顶点为 ， ，虚轴两端点为 ， ，两焦点为 ， ， 若以 为直径的圆内切于菱形 ，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得 ，再由 a，b，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值． 【详解】 由题意可得 ， ， ， ， ， ， 且 ，菱形 的边长为 ， 由以 为直径的圆内切于菱形 ，切点分别为 A，B，C，D． 由面积相等，可得 ， 即为 ， 即有 ， 由 ，可得 ， 解得 ， 可得 ，或 (舍去) 故选：C． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能 力，属于中档题． （山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题） 11.已知抛物线 的准线与双曲线 交于 两点，点 为抛物线的焦点， 若 为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得 y，根据双曲线的对称性可知△FAB 为等 腰直角三角形，进而可求得 A 或 B 的纵坐标为 2，进而求得 a，利用 a，b 和 c 的关系求得 c， 则双曲线的离心率可得． 【详解】抛物线 的准线方程为 ，联立双曲线 ，解得 ，由 题意得 ，所以 ，所以 ，故选:D 【点睛】本题考查双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB 为等腰直角三角形． （河北省唐山市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题） 10.已知双曲线 ： ， ， 分别为 的左.右焦点，过 的直线 交 的左. 右支分别于 ， ，且 ，则 （ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】 求得双曲线的 ，设 ，运用双曲线的定义可得 ，即可得到所求值． 【详解】由双曲线 ，可得 ， 设 ， 由双曲线的定义可得 ， ， 可得 ，故选 C． 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法的运用，以及数形结合思想，考 查运算能力，属于基础题． （山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 14.抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是_____． 【答案】 【解析】 双曲线 的焦点 到渐近线距离为 的焦点 到渐近线距离为 . （山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 11.设 是双曲线 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 ，使 （ 为坐标原点）且 ，则 的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知中 ，可得 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半，可得 是以 直角的直角三角形，进而根据 是双曲线右支上的点，及双曲线的 性质结合勾股定理构造方程可得 的值，进而求出 的值. 【详解】由双曲线方程 ，可得 ， ， 又 ， ， ， ， 故 是以 直角的直角三角形， 又 是双曲线右支上的点， ， 由勾股定理可得 ， 解得 ，故 ，故选 B. 【点睛】本题主要平面向量的几何运算，考查双曲线的标准方程，双曲线的定义与简单性质， 属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考 时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清 它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. （陕西省汉中市重点中学 2019 届高三下学期 3 月联考数学（文）试题） 3.双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线方程，可得它的渐近线方程为 y x，结合题意得点 在直线 y x 上， 可得 b＝ a．再利用平方关系算出 c 3a，由此结合双曲线离心率公式即可算出该双曲线 的离心率的值． 【详解】∵双曲线方程为 ∴该双曲线的渐近线方程为 y x， 又∵一条渐近线经过点 ，，∴ 1，得 b＝ a， 由此可得 c 3a，双曲线的离心率 e 3， 故选：B． 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质中的渐近线与离心率，求双曲线的离心率的值的 关键是找到 a，b，c 的关系，属于基础题． （陕西省汉中市重点中学 2019 届高三下学期 3 月联考数学（文）试题） 11.已知抛物线 ： ，直线 过点 ，且与抛物线 交于 ， 两点，若线段 的中 点恰好为点 ，则直线 的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知设 M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程作差求得： ， 由中点坐标公式可知：x1+x2＝4，y1+y2＝4，代入求得直线 MN 的斜率． 【详解】设 ， 代入 ： ，得 ， （1）-（2）得 . 因为线段 的中点恰好为点 ，所以 ， 从而 ，即 的斜率为 . 故选 C. 【点睛】本题考查中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应 用，考查运算能力，属于中档题． （西安市 2019 届高三年级第一次质量检测文科数学） 16.已知 是抛物线 的焦点， ， 是该抛物线上的两点， ，则线段 的中 点到准线的距离为______． 【答案】 【解析】 试题分析：设 A、B 的横坐标分别是 m、n，由抛物线定义，得 =m+ +n+ = m+n+ =3，故 m+n= ， ，故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 考点：本题考查了抛物线的性质 点评：抛物线的定义是解决抛物线的距离问题的常见方法 （西安市 2019 届高三年级第一次质量检测文科数学） 11.设 为双曲线 ： 的右焦点， ，若直线 的斜率与 的一条渐 近线的斜率的乘积为 3，则 的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 设出焦点坐标，根据已知列出关于 a、b、c 的方程，然后求解离心率． 【详解】设 为 ， ，若直线 与 的一条渐近线的斜率乘积为 3，可得： ， 可得 ，即 ， 可得 ， ，解得 . 故应选 B. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及斜率公式，考查计算能力，属于基础题． （江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体 2019 届高三第 一次联考数学（理）试题） 3.两个正数 ， 的等差中项是 5，等比中项是 ，则双曲线 的离心率等 于（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由题设条件结合数列的性质解得 a，b，再由双曲线的性质求得 ，可得答案． 【详解】由题设知 ，解得 a＝4，b＝6， ∴ ，∴ ． 故选：B． 【点睛】本题借助数列的性质考查双曲线的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的灵活 运用． （江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体 2019 届高三第 一次联考数学（理）试题） 11.已知以圆 的圆心为焦点的抛物线 与圆 在第一象限交于 点， 电商 抛 物线 上任意一点 与直线 垂直，垂足为 ，则 的最大值为（ ）. A. -1 B. 2 C. 1 D. 8 【答案】C 【解析】 试题分析：求得圆心，可得抛物线 C1 方程，与圆 C 的交点 A，运用抛物线的定义和三点共 线，即可得到所求最大值． 详解： 圆 C：（x﹣1）2+y2=4 的圆心为焦点（1，0）的抛物线方程为 y2=4x， 由 ，解得 A（1，2）， 抛物线 C2：x2=8y 的焦点为 F（0，2），准线方程为 y=﹣2， 即有|BM|﹣|AB|=|BF|﹣|AB|≤|AF|=1， 当且仅当 A，B，F（A 在 B，F 之间）三点共线，可得最大值 1， 故选：C. 点睛：本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三 点共线取得最值，属于中档题，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的； 平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义 有关，实现点点距和点线距的转化. （晋冀鲁豫名校 2018-2019 年度高三上学期期末联考数学(理)试题） 5.已知 双曲线 的离心率为 ； 关于 的方程 （ ）有两个不相 等的实数根，则下列为假命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由双曲线的方程求解双曲线的离心率可知p为假命题，由判别式为正数可知命题q为真命题， 然后考查选项中所给的复合命题的真假即可. 【详解】双曲线中， ，所以， ，离心率为 为假命题； 对于命题 q: ，所以方程 （ ）有两个不相等的实数根， 为真命题， 考查所给的命题： A. 是真命题，B. 是真命题，C. 是假命题，D. 是真命题. 本题选择 C 选项. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，一元二次方程根的个数的判定，复合命题真 假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. （晋冀鲁豫名校 2018-2019 年度高三上学期期末联考数学(理)试题） 11.已知过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线交抛物线于 两点，分别过 点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，若四边形 的面积是 ，则抛物线 的方程 是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由 题 意 ， 联 立 直 线 方 程 与 抛 物 线 方 程 可 得 ， 结 合 韦 达 定 理 有 ．则四边形的面积为 ，据此得到关于 p 的方 程，解方程即可确定抛物线方程. 【详解】据题意，得直线 的方程为 ．由 ，得 ． 设 ，则 ． 所以 ， 所以 ，解得 ， 所以抛物线 的方程为 ． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求解，韦达定理的应用等知 识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. （山东省泰安市 2019 届 3 月高三第一轮复习质量检测数学文科试题） 16.已知双曲线 的左焦点为 F，A，B 分别是 C 的左、右顶点，P 为 C 上一点，且 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若 （O 为坐标原点），则双曲线 C 的离心率为______． 【答案】3 【解析】 【分析】 根据条件分别求出直线 AE 和 BN 的方程，求出 N，E 的坐标，利用 的关系建立方 程进行求解即可． 【详解】解：因为 轴，所以设 ， 则 ， ， AE 的斜率 ， 则 AE 的方程为 ，令 ，则 ， 即 ， BN 的斜率为 ，则 BN 的方程为 ， 令 ，则 ，即 ， 因为 ，所以 ， 即 ，即 ，则离心率 ． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点 N，E 的坐标是解 决本题的关键． （山东省泰安市 2019 届 3 月高三第一轮复习质量检测数学文科试题） 4.从抛物线 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，从且 ， 设抛物线的焦点为 F，则直线 PF 的斜率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先设出 P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得 P 点横坐标，代入抛物线方程求得 P 的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案． 【详解】解：设 ， 依题意可知抛物线准线 ， ， ， ， ． 直线 PF 的斜率为 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率 解题的关键是灵活利用了抛物线的定义． （河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题） 13.已知双曲线 的其中一条渐近线的倾斜角是 ，则该双曲线的离心率 __________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得 ,又 ，从而得到结果. 【详解】由 ，得 ，所以 . 故答案为: 【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力. （河北省唐山市 2019 届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题） 4.双曲线 的渐近线方程为 ，则 的离心率为 A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由双曲线的方程的渐近线方程 ，求得 ，再由离心率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线 的渐近线方程为 ， 即 ，所以双曲线的离心率为 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. （河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题） 7.已知双曲线 ： 的顶点到渐近线的距离为 ，且其中一个焦点坐标为 （5,0），则双曲线 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 结合双曲线的焦点坐标可得： ， 由双曲线的方程可得，双曲线的一条渐近线方程为： ，即： ， 一个顶点的坐标： 到渐近线的距离为： ， 由题意结合双曲线的性质可得： ， 结合 可得： ， 则双曲线方程为： . 本题选择 A 选项. （安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题） 4.双曲线 的渐近线方程为 ，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据渐近线方程得到 关系，进一步求解出离心率. 【详解】双曲线渐近线斜率 本题正确选项： 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，属于基础题.易错点在于忽略双曲线交点的位置，导 致渐近线斜率出错. （陕西省咸阳市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题） 7.中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 双曲线两条渐近线互相垂直,可得 ，解得 ，即为等轴双曲线，进而得到离心 率. 【详解】因为双曲线两条渐近线互相垂直， 所以 ，解得 ，即为等轴双曲线， 所以 ， 故选 D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线垂直 的等价结果，属于简单题目. （广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试数学（文）试题） 15.抛物线 的准线方程是________． 【答案】 【解析】 分析：根据抛物线标准方程求性质： 的准线方程为 详解：因为 的准线方程为 所以抛物线 的准线方程是 . 点睛： 的准线方程为 焦点坐标为 （广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试数学（文）试题） 11.如图，已知 是双曲线 的左、右焦点，若直线 与双曲线 交于 两点，且四边形 是矩形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出 a，c 的关系，即可求出双曲线的离心 率． 【详解】由题意，矩形的对角线长相等， y= x 代入 ，b＞0）， 可得 x=± ，y=± • ， ∴ =c2， ∴4a2b2=（b2﹣3a2）c2， ∴4a2（c2﹣a2）=（c2﹣4a2）c2， ∴e4﹣8e2+4=0， ∵e＞1，∴e2=4+2 ， ∴e= +1． 故选：C． 【点睛】求离心率的常用方法有以下两种： （1）求得 的值，直接代入公式 求解； （2）列出关于 的齐次方程(或不等式)，然后根据 ，消去 后转化成关于 的 方程(或不等式)求解． （广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题） 10.已知双曲线 ， F 是双曲线 C 的右焦点， A 是双曲线 C 的右顶点， 过 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 M ， N 两点．若 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用双曲线的简单性质，转化求解推出 a、b、c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】 由题意可知： ， 解得 tan∠MAF=3， 可得： ，可得 c2+2a2-3ac=0，e2+2-3e=0，e＞1，解得 e=2． 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． （广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题） 16.已知点 P （ -1 ， -1 ），且点 F 为抛物线 C ： y 2 =2px （ p ＞ 0 ）的焦点，过点 F 且斜率为 -2 的 直线 l 与该抛物线交于 A ， B 两点．若 ，则 p= ______． 【答案】2 【解析】 【分析】 联立直线 l 的方程与抛物线的方程，利用韦达定理以及向量数量积列式可得． 【详解】∵F（ ，0），直线 l：y=-2（x- ）=-2x+p， 联立 消去 y 得 4x2-6px+p2=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， x1+x2= p，x1x2= ， ∴ =（-1-x1）（-1-x2）+（-1-y1）（-1-y2）=1+x1x2+x1+x2+（p+1）2+4x1x2-2（p+1）（x1+x2） =5x1x2+（-1-2p）（x1+x2）+1+（p+1）2= +（-1-2p）× p+1+（p+1）2=0， 解得 p=2． 故答案为：2 【点睛】本题考查了抛物线的性质，属中档题． （江西省红色七校 2019 届高三第二次联考数学（理）试题） 9.已知点 是双曲线 的右焦点，直线 与双曲 C 交于 两点，且 ，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设右焦点 F（c，0），将直线 y＝2b 代入双曲线方程求得 A,B 的坐标，运用两直线垂直的条 件：数量积为 0，计算即可得到所求值． 【详解】设右焦点 F（c，0）， 将直线方程 y＝2b 代入双曲线方程可得 x＝± ， 可得 A（ ，2b），B（ a，2b）， 由 ＝90°， 即有（ c，2b）•（ c，2b）＝0， 化简为﹣5a2+c2+4b2＝0，可得 5c2＝9a2，∴e= 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：数量积为 0，考查 化简整理的运算能力，属于中档题． （陕西省 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题） 10.已知抛物线 的准线过双曲线 （ ， ）的左焦点，且与双曲线交于 ， 两点， 为坐标原点，且 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：抛物线 的准线方程为 ，所以双曲线 的左焦点 ， 从 而 ， 把 代 入 得 ， 所 以 的 面 积 为 ，解得 ，所以离心率 ，故选 D. 考点：抛物线的方程、双曲线的几何性质. 【方法点晴】本题主要考查了抛物线的方程、双曲线的简单几何性质，属于基础题.正确运 用双曲线的几何性质是本题解答的关键，首先根据抛物线方程求出准线方程即得双曲线的焦 点坐标，求出 的值，由双曲线标准方程求得弦 的长，表示出 的面积，从而求得 值， 最后由离心率的定义求出其值. （四川省成都市实验外国语学校 2019 届高三二诊模拟考试理科数学） 11.已知 ，若点 P 是抛物线 上任意一点，点 Q 是圆 上任意一点， 则 的最小值为 A. 3 B. C. D. 4【答案】B 【解析】 【分析】 设 ，利用三角形知识得到 ，转化成 ，令 ， 将 转化成 ，问题得解。 【详解】设 ， 由抛物线 方程可得：抛物线的焦点坐标为 ， 由抛物线定义得： 又 , 所以 ， 当且仅当 三点共线时（F 点在 PQ 中间），等号成立， 令 ， 可化为： ， 当且仅当 ，即： 时，等号成立。 故选：B 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及换元法、基本不等式的应用，还考查了计算能 力及转化能力，属于基础题。 （安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学（文）试题） 14.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴 的方向射出．今有抛物线 （ ），如图，一平行 轴的光线射向抛物线上的点 P， 反射后又射向抛物线上的点 ，再反射后又沿平行 轴方向射出，且两平行光线间的最小距 离为 3，则抛物线的方程为___． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可知直线过抛物线 （ ）的焦点 ，将直线的斜率分为存在和不存在 两种情形，结合韦达定理分别求两平行线间的距离 ，解出 ，从而可得结果. 【详解】由题意可得直线过抛物线 （ ）的焦点 ，设 ， ， 当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 联立 得 ，由韦达定理得 ， ， ∴两平行线间的距离 ； 当直线 的斜率不存在时， ， ∴ ，即 ，抛物线的方程为 ， 故答案为 . 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交所得的弦长问题，根据题意得到直线过抛物线的 焦点是解题的关键，属于中档题. （安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学（文）试题） 9.已知双曲线 的左焦点 ，过点 作倾斜角为 的直线与圆 相交的弦长为 ，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出直线方程 ，根据直线截圆所得的弦长公式列出方程和 相结合求 解即可． 【详解】双曲线 的左焦点 ， 过点 作倾斜角为 的直线 与圆 相交的弦长为 ， 可得： ， 结合 化简可得： ，则双曲线的离心率 ，故选 A． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力， 常见的离心率的几种解法：1、直接求出 ，求解 ；2、变用公式 （双曲线）， （椭圆）；3、构造 的齐次式，解出 等. （安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题） 3.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且经过点 ，则双曲 线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由双曲线 的渐近线为 ，可得到 ，又点 在双曲线上， 可得到 ，联立可求出双曲线的方程。 【详解】双曲线 的渐近线为 ，则 ， 又点 在双曲线上，则 ，解得 ，故双曲线方程为 ，故 答案为 C. 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的方程的求法，考查了计算能力，属于 基础题。 （安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题） 3.若双曲线 的焦点到渐近线的距离是 2，则 的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由双曲线的方程求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线的距离公式列方程求 解即可. 【详解】双曲线 的焦点坐标为 ， 渐近线方程为 ， 所以焦点到其渐近线的距离 ，故选 A. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程、焦点坐标以及渐近线方程，考查了点到直线距离公式 的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. （安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题） 20.已知直线 ： 与焦点为 的抛物线 ： 相切. （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，求 ， 两点到直线 的距离之和的最小值. 【答案】（I） ；（II） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由 消去 得， ，根据判别式等于零解得 ，从而可得 结果；（Ⅱ）可设直线 的方程为 ，由 消去 得， ，利用韦 达定理求得线段 的中点 的坐标，设点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，由梯形中位线定理可得 ，由点到直线的距离公式，利用配 方法可得结果. 【详解】（Ⅰ）∵直线 ： 与抛物线 相切. 由 消去 得， ，从而 ，解得 . ∴抛物线 的方程为 . （Ⅱ）由于直线 的斜率不为 0， 所以可设直线 的方程为 ， ， . 由 消去 得， ， ∴ ，从而 ， ∴线段 的中点 的坐标为 . 设点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ， 则 ， ∴当 时， 、 两点到直线 的距离之和最小，最小值为 . 【点睛】本题主要考查抛物线的方程以及最值问题，属于中档题. 解决圆锥曲线中的最值问 题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决， 非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、 配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用 的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的. （安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题） 20.已知抛物线 ： 上一点 到其焦点 的距离为 10. （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）设过焦点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且抛物线在 ， 两点处的切线分别交 轴 于 ， 两点，求 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由抛物线的定义，可得到 ，即可求出 ，从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）直 线 的斜率一定存在，可设斜率为 ，直线 为 ，设 ， ，由 可得 ， ， ，然后对 求导，可得到 的斜率及方程 表达式，进而可表示出 ，同理可得到 的表达式，然后对 化简可求出范围。 【详解】解：（Ⅰ）已知 到焦点 的距离为 10，则点 到准线的距离为 10. ∵抛物线的准线为 ，∴ ， 解得 ，∴抛物线的方程为 . （Ⅱ）由已知可判断直线 的斜率存在，设斜率为 ，因为 ，则 ： . 设 ， ，由 消去 得， ， ∴ ， . 由于抛物线 也是函数 的图象，且 ，则 ： . 令 ，解得 ，∴ ，从而 . 同理可得， ， ∴ . ∵ ，∴ 的取值范围为 . 【点睛】本题考查了抛物线的方程的求法，考查了抛物线中弦长的有关计算，考查了计算能 力，属于难题。 （安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题） 20.已知抛物线 的准线方程为 . （1）求抛物线 的标准方程； （2）过点 作斜率为 的直线交抛物线 于 ， 两点，点 ，连接 ， 与抛物 线 分别交于 ， 两点，直线 的斜率记为 ，问：是否存在实数 ，使得 成立， 若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据标准方程与准线的关系，可直接求得；（2）假设存在，通过假设 四点坐标， 可以表示出 和 ，然后利用韦达定理求解出 . 【详解】（1）由准线方程可知： （2）设 ， ， ， （ 互不相等） 则 ，同理 三点共线 即 同理 将抛物线 与直线 联立得： 由韦达定理： 【点睛】本题考查圆锥曲线中的定值类问题，处理定值类问题的关键是构造出含变量的已知 中的等量关系，通过整理、消元，得到所求解的定值. （河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题） 20.已知点 是抛物线 ： 的焦点，点 是抛物线上的定点，且 . （1）求抛物线 的方程； （2）直线 与抛物线 交于不同两点 ， ，且 （ 为常数），直线 与 平行，且与抛物线 相切，切点为 ，试问 的面积是否是定值.若是，求出这个定 值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） ；（2） 的面积为定值，且定值为 . 【解析】 【分析】 （1）先设出点 M 的坐标，表示出 ，求得 M 坐标，带入抛物线方程，求得 p 的值， 得出结果. （2）先设直线 AB 的方程，联立求解得 AB 中点 Q 的坐标为 ，再设切线方程，联 立得切点 的坐标为 ，再利用面积公式和已知条件 ，进行计算化简可得 结果. 【详解】解：（1）设 ，由题知 ， 所以 . 所以 ，即 . 代入 中得 ，解得 . 所以抛物线 的方程为 . （2）由题意知，直线 的斜率存在，设其方程为 . 由 ，消去 ，整理得 ， 则 ， . ∴ ， 设 的中点为 ， 则点 的坐标为 . 由条件设切线方程为 ， 由 ，消去 整理得 . ∵直线与抛物线相切， ∴ . ∴ . ∴ ，∴ ，∴ . ∴切点 的坐标为 . ∴ 轴，∴ . ∵ ， 又∵ . ∴ . ∴ . ∵ 为常数， ∴ 的面积为定值，且定值为 . 【点睛】本题考查了抛物线的综合知识，以及直线与抛物线的相交相切的综合知识，解题的 关键是在转化和计算，属于难题. 直线与圆锥曲线解题步骤： (1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）； （2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理； （3）转化，由题已知转化为数学公式； （4）计算，细心计算. （河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题） 20.已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上， 为坐标原点， ， 且 . （1）求抛物线 的方程； （2）圆 与抛物线 顺次交于 四点， 所在的直线 过焦点 ，线段 是圆 的直径， ，求直线 的方程.. 【答案】（1） ；（2） 或 .. 【解析】 【分析】 (1) 将 代入抛物线 的方程，得 ，结合抛物线定义可得 值； （2）由题设知 与坐标轴不垂直，可设 ，代入 ，得 . 利用韦达定理可得 的中点为 及 ， 的方程为 ， 代入 ，并整理得 .利用韦达定理可得 的中点为 及 ，结合勾股定理即可得到结果. 【详解】解：（1）将 代入抛物线 的方程，得 ，所以 ， 因为 ，所以 ，整理得 ， 解得 或 ， 当 时， ，满足 ；当 时， ， ， 所以抛物线 的方程为 . （2）由题设知 与坐标轴不垂直，可设 ，代入 ，得 . 设 ， ，则 ， ， 故 的中点为 ， . 又因为 ，所以 的斜率为 ， 过 的中点 ， 所以 的方程为 ，即 . 将上式代入 ，并整理得 . 设 ， ，则 ， ，故 的中点为 ， . 因为 是直径，所以 垂直平分 ， 所以 四点在同一个圆上等价于 ， 所以 ， 即 ， 化简得 ，解得 或 ， 所以 或 . 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查中点，垂直及弦长的利用，属于中档题. （广东省汕尾市普通高中 2019 年 3 月高三教学质量检测文科数学试题） 20.已知 为抛物线 的焦点， 是抛物线上一点，且 ． 求抛物线 的方程； 抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，以线段 为直径 的圆过点 ，求线段 的长． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 由抛物线的定义可得 ，从而可得抛物线 C 的方程； 联立直线 l 与抛物线消去 x 得 ，利用韦达定理和 列式可解得 ，再用弦长公式可得弦长． 【详解】 当 时，抛物线 C 不过点 ，故 ． 由抛物线的定义有 ，解得 ， 所以抛物线 C 的方程为 ． 设 ， ，直线 l 的方程为 ， 由 消去 x 并整理得： ， 得 ，由题意， ，所以 ， 以线段 AB 为直径的圆过点 F ，所以 ，所以 ， 又 ， ， 所以 ， ，解得 满足题意． 由 ，得 ． 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求法，考查设而不求法，考查 函数与方程思想，考查计算能力，属中档题． （陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题） 20.已知动圆 P 恒过定点 ，且与直线 相切． （Ⅰ）求动圆 P 圆心的轨迹 M 的方程； （Ⅱ）正方形 ABCD 中，一条边 AB 在直线 y＝x＋4 上，另外两点 C、D 在轨迹 M 上，求正方 形的面积． 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 【分析】 （1）根据题意及抛物线的定义可得轨迹 的方程为 ；（2）设 边所在直线方程为 ，代入抛物线方程后得到关于 的二次方程，进而由根与系数的关系可得 ，又由两平行线间的距离公式可得 ，由 求出 或 ，于是可得正方形的边长，进而可得其面积． 【详解】（1）由题意得动圆 的圆心到点 的距离与它到直线 的距离相等， 所以圆心 的轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线，且 ， 所以圆心 的轨迹方程为 ． （2）由题意设 边所在直线方程为 ， 由 消去 整理得 ， ∵直线 和抛物线交于两点， ∴ ，解得 ． 设 ， ， 则 . ∴ ． 又直线 与直线 间的距离为 ， ∵ ， ∴ ，解得 或 ， 经检验 和 都满足 ． ∴正方形边长 或 ， ∴正方形 的面积 或 ． 【点睛】（1）对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点 M 满足定义，它到准线的距离为 ，则 ，有关距离、最值、弦长等是考查的重点； 二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线． （2）计算弦长时要注意整体代换的应用，以减少运算量，提高解题的效率． （河北省衡水市第十三中学 2019 届高三质检（四）理科数学试题） 18.已知抛物线 ： ，过其焦点 作斜率为 1 的直线交抛物线 于 ， 两点，且 线段 的中点的纵坐标为 4. （1）求抛物线 的标准方程； （2）若不过原点 且斜率存在的直线 与抛物线 相交于 、 两点，且 .求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据线段 的中点的纵坐标为 4，直线 的斜率为 1，利用抛物线的方程，求解 ， 即可得到抛物线的方程； （2）设直线 ： ，联立方程组，利用根与系数的关系，求得 ， ，再由 得 ，即可得到结论． 【详解】（1）设 ， 两点的坐标分别为 ， ， 则 ， ，两式相减得 . 即 ， 又线段 的中点的纵坐标为 4，直线 的斜率为 1，∴ ，∴ . 即抛物线 的标准方程为 . （2）设直线 ： 与抛物线 ： 交于点 ， ， 则 ， ，∴ ， ∴ ， ， 由 得 ，即 ， ， 直线为 ，∴ 过定点 . 【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解 答中用直线的方程与抛物线线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考 查了推理与运算能力，属于基础题． （安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题） 20.已知点 在抛物线 上，且 到抛物线焦点的距离为 . 直线 与抛物线交 于 两点，且线段 的中点为 . （Ⅰ）求直线 的方程. （Ⅱ）点 是直线 上的动点，求 的最小值. 【答案】(Ⅰ)x-y-1=0(Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由点 到抛物线焦点的距离等于到准线的距离，得到 ，可以求出 ，即可得到抛 物线的方程，然后利用点差法，根据直线 与抛物线交于 两点，且线段 的中点为 ， 可以求出斜率，从而得到直线方程；（Ⅱ） 都在直线 上，设 ，设 ， 可以表示出 ，然后将直线与抛物线联立，可以得到关 于 x 的一元二次方程，结合 的表达式，可以求出最小值。 【详解】解：（Ⅰ）抛物线的准线方程为 ,抛物线方程为 设 , 直线 的方程为 即 （Ⅱ） 都在直线 上，则 ，设 8 分 又 当 时， 的最小值为 【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于难题。 （吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题） 20.已知椭圆 M： （a＞b＞0）的一个焦点 F 与抛物线 N：y2＝4x 的焦点重合，且 M 经过点（1， ）． （1）求椭圆 M 的方程； （2）已知斜率大于 0 且过点 F 的直线 l 与椭圆 M 及抛物线 N 自上而下分别交于 A，B，C，D， 如图所示，若|AC|＝8，求|AB|－|CD|． 【答案】(1) .（2） . 【解析】 试题分析：(1)由题可得 ，解得 ， ，可得椭圆 的方程. （2）设直线 的方程为 ，与抛物线联立得 ， 由 ， ，解得 .将 代入 ，得 . 可得 ， 得解. 试题解析：(1)易知 的坐标为 ，所以 ， 所以 ，解得 ， ， 所以椭圆 的方程为 . （2）设直线 的方程为 ，代入 ，得 ， 设 ， ，则 ， 因为 ， ，所以 . 将 代入 ，得 . 设 ， ，则 , 所以 ， 故 . （山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题） 20.抛物线 的焦点为 F，圆 ，点 为抛物线上一动点. 已知当 的面积为 . （I）求抛物线方程； （II）若 ，过 P 做圆 C 的两条切线分别交 y 轴于 M，N 两点，求 面积的最小值， 并求出此时 P 点坐标. 【答案】（Ⅰ） （II） 的最小值为 2， 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据题意可得 x02+（y0 ）2 ， |1 |•|x0| ，x02＝2py0，即可解得 p＝1； （II）设 P（x0，y0），M（0，b），N（0，c），且 b＞c，则直线 PM 的方程可得，由题设知， 圆心（0，1）到直线 PM 的距离为 1，把 x0，y0 代入化简整理可得（2y0﹣1）b2﹣2y0b﹣y02 ＝0，同理可得（2y0﹣1）c2﹣2y0c﹣y02＝0，进而可知 b，c 为（2y0﹣1）x2﹣2y0x﹣y02＝0 的 两根，根据求根公式，可求得 b﹣c，进而可得△PMN 的面积的表达式，根据均值不等式可 得 【详解】（Ⅰ）由题意知： ， ， , ， 抛物线方程为 . (Ⅱ)设过点 P 且与圆 C 相切的直线的方程为 令 x=0，得 切线与 x 轴的交点为 而 ， 整理得 ， 设两切线斜率为 ， 则 ， ， ， ， 则 ， 令 ，则 ， 而 当且仅当 ，即 t=1 时，“=”成立. 此时， 的最小值为 2， 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系．直线与圆锥曲线的问题 常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题， 垂直问题，对称问题．与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向． （河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 20.抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点． （1） 为坐标原点，求证： ； （2）设点 在线段 上运动，原点 关于点 的对称点为 ，求四边形 面积的最小值 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 时，四边形 的面积最小，最小值是 ． 【解析】 试题分析：（1）先利用已知条件设出直线 AB 的方程，与抛物线联立方程组，然后结合韦达 定理表示出向量的数量积，进而证明。 （2）根据由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线 的 距离相等，得到四边形 的面积等于 ，结合三角形面积公式得到。 （Ⅰ）解：依题意 ，设直线 方程为 ． …………1 分 将直线 的方程与抛物线的方程联立，消去 得 ．……3 分 设 ， ，所以 ， ． =1， 故 ．………………6 分 （Ⅱ）解：由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线 的 距离相等，所以四边形 的面积等于 ．……8 分 因为 ……………9 分 ，…………11 分 所以 时，四边形 的面积最小，最小值是 ． ……12 分 考点：本试题主要是考查了直线与抛物线爱你的位置关系的运用。 点评：对于几何中的四边形的面积一般运用转换与化归的思想来求解得到。 （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题） 20.在平面直角坐标系 中，已知点 是 轴与圆 的一个公共点（异于原点）， 抛物线 的准线为 ， 上横坐标为 的点 到 的距离等于 . （1）求 的方程； （2）直线 与圆 相切且与 相交于 ， 两点，若 的面积为 4，求 的方程. 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 【分析】 （1）由抛物线定义可得，点 P 到 l 的距离等于|PF|=|PQ|，以及点 P 在线段 FQ 的中垂线上， 则 解得 p=2，即可求出 E 的方程， （2）设 m 的方程为 x=ny+b，A（x1，y1），B（x1，y1），根据直线 m 与圆 C 相切，可得 b2-4b=4n2， 再根据韦达定理和三角形的面积公式以及弦长公式即可求出 b 的值，即可求出 m 的方程 【详解】（1）由已知得 ，焦点 ， 由抛物线定义得，点 到 的距离等于 ， 因为 ，所以 ，所以 、 两点不重合， 所以点 在线段 的中垂线上，则 ， 解得 ，故 的方程为 . （2）由已知，直线 不与 轴垂直，设 的方程为 ， ， ， 则 ，所以 ， 由 化简得 ， 判別式 ，且 直线 与 轴交于点 ， ， 所以 ， 因为 ， 或 ，所以 ， ， 所以 方程是 或 . 解法二：（1）由已知得 ，设 ， 的准线方程为 ， 由 到 的距离等于 得， ， 则 ，解得： 或 ， 因为 ，所以 ，故 的方程为 . （2）由已知，直线 不与 轴垂直，设 的方程为 ， ， ， 则 ，所以 ， 由 化简得 ， 判别式 ，且 所以 ， 又原点 到直线 的距离 ， 所以 ，所以 ， 因为 ， 或 ，所以 ， ， 所以 的方程是 或 . 【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，利用直线与椭圆的联立，韦 达定理求弦长是常用方法，属于中档题． （河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 20.以 为圆心的动圆经过点 ，并且与直线 相切. （1）求点 的轨迹 的方程； （2）若 ， ， ， 是曲线 上的四个点， ，并且 ， 相交于点 ，直线 的倾 斜角为锐角.若四边形 的面积为 ，求直线 的方程. 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 【分析】 （1）设圆 与直线 相切于点 ，则 ，点 的轨迹为抛物线，求出方程即可；（2） 设直线 的方程为 ， ，与抛物线方程联立可得 ，同 理可得 ，则四边形 的面积 ，即可求 出 ，进而得到直线 的方程。 【详解】（1）设圆 与直线 相切于点 ，则 ，即点 到 的距离与点 到直线 的距离相等，所以点 的轨迹为抛物线. 是焦点， 是准线. 所以 的方程为 . （2）设 ， ，直线 的方程为 ， . 由 得 ， . .同理， . 所以四边形 的面积 . 由 ， 得 或 ，所以 或 . 所以直线 的方程为 或 . 【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线的方程，考查了直线与抛物线的综合问题，涉及 韦达定理的运用，抛物线弦长公式及焦半径的运用，属于中档题。