2012年广东高考试题（理数解析版） 7页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）‎ ‎【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ 1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.‎ 2、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ 3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。‎ 4、 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。‎ 5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高.‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设为虚数单位，则复数=( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 依题意：，故选.‎ ‎2．设集合；则( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ ‎3. 若向量；则( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ ‎4. 下列函数中，在区间上为增函数的是( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 区间上为增函数，区间上为减函数 ‎ 区间上为减函数，区间上为增函数 ‎5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 约束条件对应边际及内的区域： ‎ 则 ‎6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 几何体是圆柱与圆锥叠加而成 ‎ 它的体积为 ‎7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，‎ 其个位数为的概率是( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎①个位数为时，十位数为，个位数为时，十位数为，共个 ‎②个位数为时，十位数为，共个别个位数为的概率是 ‎8. .对任意两个非零的平面向量和，定义；若平面向量满足，‎ 与的夹角，且都在集合中，则( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 都在集合中得：‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。‎ ‎ (一）必做题（9-13题）‎ ‎9. 不等式的解集为_____‎ ‎【解析】解集为_____‎ ‎ 原不等式或或,解得,‎ ‎10. 的展开式中的系数为______。（用数字作答）‎ ‎【解析】系数为______‎ ‎ 的展开式中第项为 ‎ 令得：的系数为 ‎11. 已知递增的等差数列满足，则 ‎【解析】‎ ‎12. 曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎【解析】切线方程为 ‎ ‎ ‎ 切线方程为即 ‎13. 执行如图2所示的程序框图，若输入的值为，‎ 则输出的值为 ‎ ‎【解析】输出的值为 ‎ （二） 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14.(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为 是参数） 和是参数），它们的交点坐标为_______.‎ ‎【解析】它们的交点坐标为_______‎ ‎ 解得：交点坐标为 ‎15.(几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为 是圆周上的三点，满足，，过点做圆的切线 与的延长线交于点，则 ‎【解析】‎ ‎ 连接，得 ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ 16. ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数的最小正周期为 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，；求的值 ‎【解析】（1）‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 17. ‎(本小题满分13分)‎ 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图 如图4所示，其中成绩分组区间是：‎ ‎[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。‎ ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）从成绩不低于分的学生中随机选取人，‎ 该人中成绩在分以上（含分）的人数记为，‎ 求的数学期望。‎ ‎【解析】（1）‎ ‎ （2）成绩不低于分的学生有人，其中成绩在分以上（含分）‎ 的人数为 ‎ 随机变量可取 ‎ ‎ ‎ ‎ 答：（1）‎ ‎ （2）的数学期望为 ‎18.(本小题满分13分)‎ 如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，‎ 平面，点在线段上，平面。‎ （1） 证明：平面；‎ （2） 若，求二面角的正切值；‎ ‎【解析】（1）平面，面 ‎ 平面，面 ‎ 又面 ‎（2）由（1）得：，，‎ ‎ 平面是二面角的平面角 ‎ 在中，‎ ‎ 在中，‎ ‎ 得：二面角的正切值为 ‎19.(本小题满分14分)‎ 设数列的前项和为，满足，且成等差数列。‎ ‎ （1）求的值；（2）求数列的通项公式。‎ ‎（3）证明：对一切正整数，有 ‎【解析】（1） 相减得：‎ ‎ ‎ ‎ 成等差数列 ‎ （2）得对均成立 ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎ （3）当时，‎ 当时，‎ ‎ 由上式得：对一切正整数，有（lfxlby）‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的 点到的距离的最大值为；‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不同的 两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；‎ 若不存在，请说明理由。（lby lfx）‎ ‎【解析】（1）设 由，所以 设是椭圆上任意一点，则，所以 ‎ 当时，当时，有最大值，可得，所以 ‎ 当时， 不合题意 故椭圆的方程为：‎ ‎ （2）中，，‎ ‎ 当且仅当时，有最大值，‎ ‎ 时，点到直线的距离为 ‎ ‎ ‎ 又，此时点(lfxlby)‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ ‎ 设，集合，，。‎ ‎（1）求集合（用区间表示）‎ ‎（2）求函数在内的极值点。‎ ‎【解析】（1）对于方程 判别式 因为，所以 ① 当时，，此时，所以；‎ ② 当时，，此时，所以；‎ 当时，，设方程的两根为且，则 ‎ ‎，‎ ③ 当时，，，所以 此时，‎ ④ 当时，，所以 此时，‎ ‎（2），‎ 所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数 ‎ ①是极点 ‎ ②是极点 ‎ 得：时，函数无极值点，时，函数极值点为，‎ ‎ 时，函数极值点为与(lfxlby)‎