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  • 2021-05-28 发布

2020年四川省成都市中考数学试卷

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2020 年四川省成都市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题均有四个选项,其中只 有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上) 1.(3 分) 2 的绝对值是 ( ) A. 2 B.1 C.2 D. 1 2 2.(3 分)如图所示的几何体是由 4 个大小相同的小立方块搭成,其左视图是 ( ) A. B. C. D. 3.(3 分)2020 年 6 月 23 日,北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发 射并顺利进入预定轨道,它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导 航系统全面建成.该卫星距离地面约 36000 千米,将数据 36000 用科学记数法表示为 ( ) A. 33.6 10 B. 43.6 10 C. 53.6 10 D. 436 10 4.(3 分)在平面直角坐标系中,将点 (3,2)P 向下平移 2 个单位长度得到的点的坐标是 ( ) A. (3,0) B. (1,2) C. (5,2) D. (3,4) 5.(3 分)下列计算正确的是 ( ) A.3 2 5a b ab  B. 3 2 6a a a C. 3 2 6 2( )a b a b  D. 2 3 3a b a b  6.(3 分)成都是国家历史文化名城,区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青 羊宫都有深厚的文化底蕴.某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行,人数分别为:12, 5,11,5,7(单位:人),这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A.5 人,7 人 B.5 人,11 人 C.5 人,12 人 D.7 人,11 人 7.(3 分)如图,在 ABC 中,按以下步骤作图:①分别以点 B 和 C 为圆心,以大于 1 2 BC 的长为半径作弧,两弧相交于点 M 和 N ;②作直线 MN 交 AC 于点 D ,连接 BD .若 6AC  , 2AD  ,则 BD 的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 8.(3 分)已知 2x  是分式方程 3 11 k x x x   的解,那么实数 k 的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 9.(3 分)如图,直线 1 2 3/ / / /l l l ,直线 AC 和 DF 被 1l , 2l ,3l 所截, 5AB  , 6BC  , 4EF  , 则 DE 的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.10 3 10.(3 分)关于二次函数 2 2 8y x x   ,下列说法正确的是 ( ) A.图象的对称轴在 y 轴的右侧 B.图象与 y 轴的交点坐标为 (0,8) C.图象与 x 轴的交点坐标为 ( 2,0) 和 (4,0) D. y 的最小值为 9 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,答案写在答题卡上) 11.(4 分)分解因式: 2 3x x  . 12.(4 分)一次函数 (2 1) 2y m x   的值随 x 值的增大而增大,则常数 m 的取值范围为 . 13.(4 分)如图, A , B ,C 是 O 上的三个点, 50AOB   , 55B  ,则 A 的度数 为 . 14.(4 分)《九章算术》是我国古代一部著名的算书,它的出现标志着中国古代数学形成了 完整的体系.其中卷八方程[ 七 ] 中记载:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金 八两.牛、羊各直金几何?”题目大意是:5 头牛、2 只羊共值金 10 两.2 头牛、5 只羊共 值金 8 两.每头牛、每只羊各值金多少两?设 1 头牛值金 x 两,1 只羊值金 y 两,则可列方 程组为 . 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 54 分,解答过程写在答题卡上) 15.(12 分)(1)计算: 212sin60 ( ) | 2 3 | 92      ; (2)解不等式组:  4 1 2, 2 1 13 x x x x        ① ② … . 16.(6 分)先化简,再求值: 2 1 2(1 )3 9 x x x    ,其中 3 2x   . 17.(8 分)2021 年,成都将举办世界大学生运动会,这是在中国西部第一次举办的世界综 合性运动会.目前,运动会相关准备工作正在有序进行,比赛项目已经确定.某校体育社团 随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿,并根 据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图. 根据以上信息,解答下列问题: (1)这次被调查的同学共有 人; (2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ; (3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者,请利用画树状图或列 表的方法,求恰好选中甲、乙两位同学的概率. 18.(8 分)成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成都旅游 打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台 A 处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一 建筑物楼项 D 处测得塔 A 处的仰角为 45,塔底部 B 处的俯角为 22.已知建筑物的高 CD 约为 61 米,请计算观景台的高 AB 的值. (结果精确到 1 米;参考数据: sin 22 0.37  , cos22 0.93  , tan 22 0.40)  19.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 ( 0)my xx   的图象经过点 (3,4)A ,过 点 A 的直线 y kx b  与 x 轴、 y 轴分别交于 B , C 两点. (1)求反比例函数的表达式; (2)若 AOB 的面积为 BOC 的面积的 2 倍,求此直线的函数表达式. 20.(10 分)如图,在 ABC 的边 BC 上取一点 O ,以 O 为圆心,OC 为半径画 O , O 与边 AB 相切于点 D , AC AD ,连接 OA 交 O 于点 E ,连接 CE ,并延长交线段 AB 于 点 F . (1)求证: AC 是 O 的切线; (2)若 10AB  , 4tan 3B  ,求 O 的半径; (3)若 F 是 AB 的中点,试探究 BD CE 与 AF 的数量关系并说明理由. 四、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分,答案写在答题卡上) 21.(4 分)已知 7 3a b  ,则代数式 2 26 9a ab b  的值为 . 22.(4 分)关于 x 的一元二次方程 2 32 4 02x x m    有实数根,则实数 m 的取值范围 是 . 23.(4 分)如图,六边形 ABCDEF 是正六边形,曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 叫做“正六边形的渐 开线”, 1FA , 1 1A B , 1 1B C , 1 1C D , 1 1D E , 1 1E F , 的圆心依次按 A ,B ,C ,D ,E , F 循环,且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当 1AB  时,曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 的长度是 . 24.(4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 ( 0)y mx m  与双曲线 4y x  交于 A ,C 两 点(点 A 在第一象限),直线 ( 0)y nx n  与双曲线 1y x   交于 B , D 两点.当这两条直 线互相垂直,且四边形 ABCD 的周长为10 2 时,点 A 的坐标为 . 25.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, 4AB  , 3BC  ,E ,F 分别为 AB ,CD 边的中点.动 点 P 从点 E 出发沿 EA 向点 A 运动,同时,动点 Q 从点 F 出发沿 FC 向点 C 运动,连接 PQ , 过点 B 作 BH PQ 于点 H ,连接 DH .若点 P 的速度是点 Q 的速度的 2 倍,在点 P 从点 E 运动至点 A 的过程中,线段 PQ 长度的最大值为 ,线段 DH 长度的最小值为 . 五、解答题(本大题共 3 个小题,共 30 分,解答过程写在答题卡上) 26.(8 分)在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月 获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本为 10 元 / 件,拟采取 线上和线下两种方式进行销售.调查发现,线下的月销量 y (单位:件)与线下售价 x(单 位:元 / 件,12 24)x „ 满足一次函数的关系,部分数据如下表: x (元 / 件) 12 13 14 15 16 y (件 ) 1200 1100 1000 900 800 (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)若线上售价始终比线下每件便宜 2 元,且线上的月销量固定为 400 件.试问:当 x 为 多少时,线上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润. 27.(10 分)在矩形 ABCD 的CD 边上取一点 E ,将 BCE 沿 BE 翻折,使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处. (1)如图 1,若 2BC BA ,求 CBE 的度数; (2)如图 2,当 5AB  ,且 10AF FD  时,求 BC 的长; (3)如图 3,延长 EF ,与 ABF 的角平分线交于点 M ,BM 交 AD 于点 N ,当 NF AN FD  时,求 AB BC 的值. 28.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 2y ax bx c   与 x 轴交于 ( 1,0)A  , (4,0)B 两点,与 y 轴交于点 (0, 2)C  . (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图 1,点 D 为第四象限抛物线上一点,连接 AD ,BC 交于点 E ,连接 BD ,记 BDE 的面积为 1S , ABE 的面积为 2S ,求 1 2 S S 的最大值; (3)如图 2,连接 AC , BC ,过点 O 作直线 / /l BC ,点 P , Q 分别为直线 l 和抛物线上 的点.试探究:在第一象限是否存在这样的点 P ,Q ,使 PQB CAB ∽ .若存在,请求出 所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 2020 年四川省成都市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题均有四个选项,其中只 有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上) 1.(3 分) 2 的绝对值是 ( ) A. 2 B.1 C.2 D. 1 2 【解答】解: 2 的绝对值为 2. 故选: C . 2.(3 分)如图所示的几何体是由 4 个大小相同的小立方块搭成,其左视图是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解:从左面看是一列 2 个正方形. 故选: D . 3.(3 分)2020 年 6 月 23 日,北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发 射并顺利进入预定轨道,它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导 航系统全面建成.该卫星距离地面约 36000 千米,将数据 36000 用科学记数法表示为 ( ) A. 33.6 10 B. 43.6 10 C. 53.6 10 D. 436 10 【解答】解: 436000 3.6 10  , 故选: B . 4.(3 分)在平面直角坐标系中,将点 (3,2)P 向下平移 2 个单位长度得到的点的坐标是 ( ) A. (3,0) B. (1,2) C. (5,2) D. (3,4) 【解答】解:将点 (3,2)P 向下平移 2 个单位长度所得到的点坐标为 (3,2 2) ,即 (3,0) , 故选: A . 5.(3 分)下列计算正确的是 ( ) A.3 2 5a b ab  B. 3 2 6a a a C. 3 2 6 2( )a b a b  D. 2 3 3a b a b  【解答】解: A 、 3a 与 2b 不是同类项,不能合并,原计算错误,故此选项不符合题意; B 、 3 2 5a a a ,原计算错误,故此选项不符合题意; C 、 3 2 6 2( )a b a b  ,原计算正确,故此选项符合题意; D 、 2 3 3a b a ab  ,原计算错误,故此选项不符合题意. 故选: C . 6.(3 分)成都是国家历史文化名城,区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青 羊宫都有深厚的文化底蕴.某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行,人数分别为:12, 5,11,5,7(单位:人),这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A.5 人,7 人 B.5 人,11 人 C.5 人,12 人 D.7 人,11 人 【解答】解:5 出现了 2 次,出现的次数最多,则众数是 5 人; 把这组数据从小到大排列:5,5,7,11,12,最中间的数是 7,则中位数是 7 人. 故选: A . 7.(3 分)如图,在 ABC 中,按以下步骤作图:①分别以点 B 和 C 为圆心,以大于 1 2 BC 的长为半径作弧,两弧相交于点 M 和 N ;②作直线 MN 交 AC 于点 D ,连接 BD .若 6AC  , 2AD  ,则 BD 的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【解答】解:由作图知, MN 是线段 BC 的垂直平分线, BD CD  , 6AC  , 2AD  , 4BD CD   , 故选: C . 8.(3 分)已知 2x  是分式方程 3 11 k x x x   的解,那么实数 k 的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解答】解:把 2x  代入分式方程得: 1 12 k   , 解得: 4k  . 故选: B . 9.(3 分)如图,直线 1 2 3/ / / /l l l ,直线 AC 和 DF 被 1l , 2l ,3l 所截, 5AB  , 6BC  , 4EF  , 则 DE 的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.10 3 【解答】解:直线 1 2 3/ / / /l l l ,  AB DE BC EF  , 5AB  , 6BC  , 4EF  ,  5 6 4 DE , 10 3DE  , 故选: D . 10.(3 分)关于二次函数 2 2 8y x x   ,下列说法正确的是 ( ) A.图象的对称轴在 y 轴的右侧 B.图象与 y 轴的交点坐标为 (0,8) C.图象与 x 轴的交点坐标为 ( 2,0) 和 (4,0) D. y 的最小值为 9 【解答】解:二次函数 2 22 8 ( 1) 9 ( 4)( 2)y x x x x x         , 该函数的对称轴是直线 1x   ,在 y 轴的左侧,故选项 A 错误; 当 0x  时, 8y   ,即该函数与 y 轴交于点 (0, 8) ,故选项 B 错误; 当 0y  时, 2x  或 4x   ,即图象与 x 轴的交点坐标为 (2,0) 和 ( 4,0) ,故选项 C 错误; 当 1x   时,该函数取得最小值 9y   ,故选项 D 正确; 故选: D . 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,答案写在答题卡上) 11.(4 分)分解因式: 2 3x x  ( 3)x x  . 【解答】解: 2 3 ( 3)x x x x   . 12.(4 分)一次函数 (2 1) 2y m x   的值随 x 值的增大而增大,则常数 m 的取值范围为 1 2m  . 【解答】解:一次函数 (2 1) 2y m x   中,函数值 y 随自变量 x 的增大而增大, 2 1 0m   ,解得 1 2m  . 故答案为: 1 2m  . 13.(4 分)如图, A , B ,C 是 O 上的三个点, 50AOB   , 55B  ,则 A 的度数 为 30 . 【解答】解: OB OC , 55B  , 180 2 70BOC B       , 50AOB   , 70 50 120AOC AOB BOC          , OA OC , 180 120 302A OCA         , 故答案为: 30 . 14.(4 分)《九章算术》是我国古代一部著名的算书,它的出现标志着中国古代数学形成了 完整的体系.其中卷八方程[ 七 ] 中记载:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金 八两.牛、羊各直金几何?”题目大意是:5 头牛、2 只羊共值金 10 两.2 头牛、5 只羊共 值金 8 两.每头牛、每只羊各值金多少两?设 1 头牛值金 x 两,1 只羊值金 y 两,则可列方 程组为 5 2 10 2 5 8 x y x y      . 【解答】解:设 1 头牛值金 x 两,1 只羊值金 y 两, 由题意可得, 5 2 10 2 5 8 x y x y      , 故答案为: 5 2 10 2 5 8 x y x y      . 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 54 分,解答过程写在答题卡上) 15.(12 分)(1)计算: 212sin60 ( ) | 2 3 | 92      ; (2)解不等式组:  4 1 2, 2 1 13 x x x x        ① ② … . 【解答】解:(1)原式 32 4 2 3 32       3 4 2 3 3     3 ; (2)  4 1 2, 2 1 13 x x x x        ① ② … , 由①得, 2x… ; 由②得, 4x  , 故此不等式组的解集为: 2 4x „ . 16.(6 分)先化简,再求值: 2 1 2(1 )3 9 x x x    ,其中 3 2x   . 【解答】解:原式 3 1 ( 3)( 3) 3 2 x x x x x       3x  , 当 3 2x   时, 原式 2 . 17.(8 分)2021 年,成都将举办世界大学生运动会,这是在中国西部第一次举办的世界综 合性运动会.目前,运动会相关准备工作正在有序进行,比赛项目已经确定.某校体育社团 随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿,并根 据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图. 根据以上信息,解答下列问题: (1)这次被调查的同学共有 180 人; (2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ; (3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者,请利用画树状图或列 表的方法,求恰好选中甲、乙两位同学的概率. 【解答】解:(1)根据题意得: 54 30% 180  (人 ) , 答:这次被调查的学生共有 180 人; 故答案为:180; (2)根据题意得: 360 (1 20% 15% 30%) 126      , 答:扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126 , 故答案为:126 ; (3)列表如下: 甲 乙 丙 丁 甲 一 (乙,甲)(丙,甲)(丁,甲) 乙 (甲,乙) 一 (丙,乙)(丁,乙) 丙 (甲,丙)(乙,丙) 一 (丁,丙) 丁 (甲,丁)(乙,丁)(丙,丁) 一 共有 12 种等可能的情况,恰好选中甲、乙两位同学的有 2 种, P (选中甲、乙) 2 1 12 6   . 18.(8 分)成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成都旅游 打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台 A 处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一 建筑物楼项 D 处测得塔 A 处的仰角为 45,塔底部 B 处的俯角为 22.已知建筑物的高 CD 约为 61 米,请计算观景台的高 AB 的值. (结果精确到 1 米;参考数据: sin 22 0.37  , cos22 0.93  , tan 22 0.40)  【解答】解:过点 D 作 DE AB 于点 E , 根据题意可得四边形 DCBE 是矩形, DE BC  , 61BE DC  , 在 Rt ADE 中, 45ADE   , AE DE  , AE DE BC   , 在 Rt BDE 中, 22BDE   , 61 152.5tan22 0.40 BEDE    , 152.5 61 214AB AE BE DE CD        (米 ) . 答:观景台的高 AB 的值约为 214 米. 19.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 ( 0)my xx   的图象经过点 (3,4)A ,过 点 A 的直线 y kx b  与 x 轴、 y 轴分别交于 B , C 两点. (1)求反比例函数的表达式; (2)若 AOB 的面积为 BOC 的面积的 2 倍,求此直线的函数表达式. 【解答】解:(1)反比例函数 ( 0)my xx   的图象经过点 (3,4)A , 3 4 12k    , 反比例函数的表达式为 12y x  ; (2)直线 y kx b  过点 A , 3 4k b   , 过点 A 的直线 y kx b  与 x 轴、 y 轴分别交于 B , C 两点, ( bB k   , 0) , (0, )C b , AOB 的面积为 BOC 的面积的 2 倍,  1 14 | | 2 | | | |2 2 b b bk k         , 2b   , 当 2b  时, 2 3k  , 当 2b   时, 2k  , 直线的函数表达式为: 2 23y x  , 2 2y x  . 20.(10 分)如图,在 ABC 的边 BC 上取一点 O ,以 O 为圆心,OC 为半径画 O , O 与边 AB 相切于点 D , AC AD ,连接 OA 交 O 于点 E ,连接 CE ,并延长交线段 AB 于 点 F . (1)求证: AC 是 O 的切线; (2)若 10AB  , 4tan 3B  ,求 O 的半径; (3)若 F 是 AB 的中点,试探究 BD CE 与 AF 的数量关系并说明理由. 【解答】解:(1)如图,连接 OD , O 与边 AB 相切于点 D , OD AB  ,即 90ADO  , AO AO , AC AD , OC OD , ( )ACO ADO SSS   , 90ADO ACO     , 又 OC 是半径, AC 是 O 的切线; (2) 4tan 3 ACB BC   , 设 4AC x , 3BC x , 2 2 2AC BC AB  , 2 216 9 100x x   , 2x  , 6BC  , 8AC AD  , 10AB  , 2BD  , 2 2 2OB OD BD  , 2 2(6 ) 4OC OC    , 8 3OC  , 故 O 的半径为 8 3 ; (3)连接 OD , DE , 由(1)可知: ACO ADO   , 90ACO ADO     , AOC AOD   , 又 CO DO , OE OE , ( )COE DOE SAS   , OCE OED   , OC OE OD  , OCE OEC OED ODE       , 180 180 2DEF OEC OED OCE           , 点 F 是 AB 中点, 90ACB   , CF BF AF   , FCB FBC   , 180 180 2DFE BCF CBF OCE           , DEF DFE   , DE DF CE   , AF BF DF BD CE BD      . 四、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分,答案写在答题卡上) 21.(4 分)已知 7 3a b  ,则代数式 2 26 9a ab b  的值为 49 . 【解答】解: 7 3a b  , 3 7a b   , 2 26 9a ab b   2( 3 )a b  27 49 , 故答案为:49. 22.(4 分)关于 x 的一元二次方程 2 32 4 02x x m    有实数根,则实数 m 的取值范围是 7 2m„ . 【解答】解:关于 x 的一元二次方程 2 32 4 02x x m    有实数根, △ 2 3( 4) 4 2 ( ) 16 8 12 02m m         … , 解得: 7 2m„ , 故答案为: 7 2m„ . 23.(4 分)如图,六边形 ABCDEF 是正六边形,曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 叫做“正六边形的渐 开线”, 1FA , 1 1A B , 1 1B C , 1 1C D , 1 1D E , 1 1E F , 的圆心依次按 A ,B ,C ,D ,E , F 循环,且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当 1AB  时,曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 的长度是 7 . 【解答】解: 1FA 的长 60 1 180 3     , 1 1A B 的长 60 2 2 180 3     , 1 1B C 的长 60 3 3 180 3     , 1 1C D 的长 60 4 4 180 3     , 1 1D E 的长 60 5 5 180 3     , 1 1E F 的长 60 6 6 180 3     , 曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 的长度 2 6 21 73 3 3 3          , 故答案为 7 . 24.(4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 ( 0)y mx m  与双曲线 4y x  交于 A ,C 两 点(点 A 在第一象限),直线 ( 0)y nx n  与双曲线 1y x   交于 B , D 两点.当这两条直 线互相垂直,且四边形 ABCD 的周长为10 2 时,点 A 的坐标为 ( 2 , 2 2) 或 (2 2 , 2) . 【解答】解:联立 ( 0)y mx m  与 4y x  并解得: 2 2 x m y m       ,故点 A 的坐标为 2( m ,2 )m , 联立 ( 0)y nx n  与 1y x   同理可得:点 1(D n  , )n  , 这两条直线互相垂直,则 1mn   ,故点 (D m , 1 ) m  ,则点 (B m , 1 ) m , 则 2 2 22 1 5( ) (2 ) 5AD m m mmm m       , 同理可得: 2 25 5AB m ADm    , 则 1 10 24AB   ,即 2 25 5 52AB mm    , 解得: 2m  或 1 2 , 故点 A 的坐标为 ( 2 , 2 2) 或 (2 2 , 2) , 故答案为: ( 2 , 2 2) 或 (2 2 , 2) . 25.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, 4AB  , 3BC  ,E ,F 分别为 AB ,CD 边的中点.动 点 P 从点 E 出发沿 EA 向点 A 运动,同时,动点 Q 从点 F 出发沿 FC 向点 C 运动,连接 PQ , 过点 B 作 BH PQ 于点 H ,连接 DH .若点 P 的速度是点 Q 的速度的 2 倍,在点 P 从点 E 运动至点 A 的过程中,线段 PQ 长度的最大值为 3 2 ,线段 DH 长度的最小值为 . 【解答】解:连接 EF 交 PQ 于 M ,连接 BM ,取 BM 的中点 O ,连接 OH ,OD ,过点 O 作 ON CD 于 N . 四边形 ABCD 是矩形, DF CF , AE EB , 四边形 ADFE 是矩形, 3EF AD   , / /FQ PE , MFQ MEP ∽ ,  MF FQ ME PE  , 2PE FQ , 2EM MF  , 2EM  , 1FM  , 当 点 P 与 A 重 合 时 , PQ 的 值 最 大 , 此 时 2 2 2 22 2 2 2PM AE ME     , 2 2 2 21 1 2MQ FQ MF     , 3 2PQ  , / / / /MF ON BC , MO OB , 1FN CN   , 3DN DF FN   , 1 ( ) 22ON FM BC   , 2 2 2 23 2 13OD DN ON      , BH PQ , 90BHM  , OM OB , 2 21 1 2 2 22 2OH BM      , DH OD OH … , 13 2DH … , DH 的最小值为 13 2 , 故答案为 3 2 , 13 2 . 五、解答题(本大题共 3 个小题,共 30 分,解答过程写在答题卡上) 26.(8 分)在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月 获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本为 10 元 / 件,拟采取 线上和线下两种方式进行销售.调查发现,线下的月销量 y (单位:件)与线下售价 x(单 位:元 / 件,12 24)x „ 满足一次函数的关系,部分数据如下表: x (元 / 件) 12 13 14 15 16 y (件 ) 1200 1100 1000 900 800 (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)若线上售价始终比线下每件便宜 2 元,且线上的月销量固定为 400 件.试问:当 x 为 多少时,线上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润. 【解答】解:(1) y 与 x 满足一次函数的关系, 设 y kx b  , 将 12x  , 1200y  ; 13x  , 1100y  代入得: 1200 12 1100 13 k b k b      , 解得: 100 2400 k b     , y 与 x 的函数关系式为: 100 2400y x   ; (2)设线上和线下月利润总和为 m 元, 则 2400( 2 10) ( 10) 400 4800 ( 100 2400)( 10) 100( 19) 7300m x y x x x x x               , 当 x 为 19 元 / 件时,线上和线下月利润总和达到最大,此时的最大利润为 7300 元. 27.(10 分)在矩形 ABCD 的CD 边上取一点 E ,将 BCE 沿 BE 翻折,使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处. (1)如图 1,若 2BC BA ,求 CBE 的度数; (2)如图 2,当 5AB  ,且 10AF FD  时,求 BC 的长; (3)如图 3,延长 EF ,与 ABF 的角平分线交于点 M ,BM 交 AD 于点 N ,当 NF AN FD  时,求 AB BC 的值. 【解答】解:(1)将 BCE 沿 BE 翻折,使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处, BC BF  , FBE EBC   , 2BC AB , 2BF AB  , 30AFB  , 四边形 ABCD 是矩形, / /AD BC , 30AFB CBF     , 1 152CBE FBC     ; (2)将 BCE 沿 BE 翻折,使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处, 90BFE C    , CE EF , 又矩形 ABCD 中, 90A D     , 90AFB DFE    , 90DEF DFE     , AFB DEF   , FAB EDF ∽ ,  AF AB DE DF  , AF DF AB DE   , 10AF DF   , 5AB  , 2DE  , 5 2 3CE DC DE      , 3EF  , 2 2 2 23 2 5DF EF DE      , 10 2 5 5 AF   , 2 5 5 3 5BC AD AF DF       . (3)过点 N 作 NG BF 于点 G , NF AN FD  , 1 1 2 2NF AD BC   , BC BF , 1 2NF BF  , NFG AFB   , 90NGF BAF    , NFG BFA ∽ ,  1 2 NG FG NF AB FA BF    , 设 AN x , BN 平分 ABF , AN AB , NG BF , AN NG x   , 设 FG y ,则 2AF y , 2 2 2AB AF BF  , 2 2 2(2 ) (2 ) (2 )x y x y    , 解得 4 3y x . 4 102 3 3BF BG GF x x x      .  2 3 10 5 3 AB AB x BC BF x    . 28.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 2y ax bx c   与 x 轴交于 ( 1,0)A  , (4,0)B 两点,与 y 轴交于点 (0, 2)C  . (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图 1,点 D 为第四象限抛物线上一点,连接 AD ,BC 交于点 E ,连接 BD ,记 BDE 的面积为 1S , ABE 的面积为 2S ,求 1 2 S S 的最大值; (3)如图 2,连接 AC , BC ,过点 O 作直线 / /l BC ,点 P , Q 分别为直线 l 和抛物线上 的点.试探究:在第一象限是否存在这样的点 P ,Q ,使 PQB CAB ∽ .若存在,请求出 所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(1)设抛物线的解析式为 ( 1)( 4)y a x x   . 将 (0, 2)C  代入得: 4 2a  ,解得 1 2a  , 抛物线的解析式为 1 ( 1)( 4)2y x x   ,即 21 3 22 2y x x   . (2)过点 D 作 DG x 轴于点G ,交 BC 于点 F ,过点 A 作 AK x 轴交 BC 的延长线于点 K , / /AK DG , AKE DFE ∽ ,  DF DE AK AE  ,  1 2 BDE ABE S S DE DF S S AE AK      , 设直线 BC 的解析式为 y kx b  ,  4 0 2 k b b      ,解得 1 2 2 k b      , 直线 BC 的解析式为 1 22y x  , ( 1,0)A  , 1 522 2y      , 5 2AK  , 设 21 3( , 2)2 2D m m m  ,则 1( , 2)2F m m  , 2 21 1 3 12 2 22 2 2 2DF m m m m m         .  2 2 21 2 1 2 1 4 1 42 ( 2)5 5 5 5 5 2 m mS m m mS           . 当 2m  时, 1 2 S S 有最大值,最大值是 4 5 . (3)符合条件的点 P 的坐标为 68 34( , )9 9 或 6 2 41 3 41( , )5 5   . / /l BC , 直线 l 的解析式为 1 2y x , 设 ( , )2 aP a , ①当点 P 在直线 BQ 右侧时,如图 2,过点 P 作 PN x 轴于点 N ,过点 Q 作 QM  直线 PN 于点 M , ( 1,0)A  , (0, 2)C  , (4,0)B , 5AC  , 5AB  , 2 5BC  , 2 2 2AC BC AB  , 90ACB   , PQB CAB  ∽ ,  1 2 PQ AC PB BC   , 90QMP BNP     , 90MQP MPQ     , 90MPQ PBN     , MQP PBN   , QPM PBN ∽ ,  1 2 QM PM PQ PN BN PB    , 4 aQM  , 1 1( 4) 22 2PM a a    , 2MN a   , 34 44 4 aBN QM a a      , 3(4Q a , 2)a  , 将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式得 21 3 3 3( ) 2 22 4 2 4a a a      , 解得 0a  (舍去)或 68 9a  . 68 34( , )9 9P . ②当点 P 在直线 BQ 左侧时, 由①的方法同理可得点 Q 的坐标为 5(4 a , 2) . 此时点 P 的坐标为 6 2 41 3 41( , )5 5   .