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- 2021-05-28 发布
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2020 年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题均有四个选项,其中只
有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
1.(3 分) 2 的绝对值是 ( )
A. 2 B.1 C.2 D. 1
2
2.(3 分)如图所示的几何体是由 4 个大小相同的小立方块搭成,其左视图是 ( )
A. B. C. D.
3.(3 分)2020 年 6 月 23 日,北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发
射并顺利进入预定轨道,它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导
航系统全面建成.该卫星距离地面约 36000 千米,将数据 36000 用科学记数法表示为 ( )
A. 33.6 10 B. 43.6 10 C. 53.6 10 D. 436 10
4.(3 分)在平面直角坐标系中,将点 (3,2)P 向下平移 2 个单位长度得到的点的坐标是 ( )
A. (3,0) B. (1,2) C. (5,2) D. (3,4)
5.(3 分)下列计算正确的是 ( )
A.3 2 5a b ab B. 3 2 6a a a C. 3 2 6 2( )a b a b D. 2 3 3a b a b
6.(3 分)成都是国家历史文化名城,区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青
羊宫都有深厚的文化底蕴.某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行,人数分别为:12,
5,11,5,7(单位:人),这组数据的众数和中位数分别是 ( )
A.5 人,7 人 B.5 人,11 人 C.5 人,12 人 D.7 人,11 人
7.(3 分)如图,在 ABC 中,按以下步骤作图:①分别以点 B 和 C 为圆心,以大于 1
2 BC
的长为半径作弧,两弧相交于点 M 和 N ;②作直线 MN 交 AC 于点 D ,连接 BD .若 6AC ,
2AD ,则 BD 的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
8.(3 分)已知 2x 是分式方程 3 11
k x
x x
的解,那么实数 k 的值为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.(3 分)如图,直线 1 2 3/ / / /l l l ,直线 AC 和 DF 被 1l , 2l ,3l 所截, 5AB , 6BC , 4EF ,
则 DE 的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.10
3
10.(3 分)关于二次函数 2 2 8y x x ,下列说法正确的是 ( )
A.图象的对称轴在 y 轴的右侧
B.图象与 y 轴的交点坐标为 (0,8)
C.图象与 x 轴的交点坐标为 ( 2,0) 和 (4,0)
D. y 的最小值为 9
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,答案写在答题卡上)
11.(4 分)分解因式: 2 3x x .
12.(4 分)一次函数 (2 1) 2y m x 的值随 x 值的增大而增大,则常数 m 的取值范围为 .
13.(4 分)如图, A , B ,C 是 O 上的三个点, 50AOB , 55B ,则 A 的度数
为 .
14.(4 分)《九章算术》是我国古代一部著名的算书,它的出现标志着中国古代数学形成了
完整的体系.其中卷八方程[ 七 ] 中记载:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金
八两.牛、羊各直金几何?”题目大意是:5 头牛、2 只羊共值金 10 两.2 头牛、5 只羊共
值金 8 两.每头牛、每只羊各值金多少两?设 1 头牛值金 x 两,1 只羊值金 y 两,则可列方
程组为 .
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 54 分,解答过程写在答题卡上)
15.(12 分)(1)计算: 212sin60 ( ) | 2 3 | 92
;
(2)解不等式组:
4 1 2,
2 1 13
x x
x x
①
②
.
16.(6 分)先化简,再求值: 2
1 2(1 )3 9
x
x x
,其中 3 2x .
17.(8 分)2021 年,成都将举办世界大学生运动会,这是在中国西部第一次举办的世界综
合性运动会.目前,运动会相关准备工作正在有序进行,比赛项目已经确定.某校体育社团
随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿,并根
据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)这次被调查的同学共有 人;
(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ;
(3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者,请利用画树状图或列
表的方法,求恰好选中甲、乙两位同学的概率.
18.(8 分)成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成都旅游
打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台 A 处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一
建筑物楼项 D 处测得塔 A 处的仰角为 45,塔底部 B 处的俯角为 22.已知建筑物的高 CD
约为 61 米,请计算观景台的高 AB 的值.
(结果精确到 1 米;参考数据: sin 22 0.37 , cos22 0.93 , tan 22 0.40)
19.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 ( 0)my xx
的图象经过点 (3,4)A ,过
点 A 的直线 y kx b 与 x 轴、 y 轴分别交于 B , C 两点.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)若 AOB 的面积为 BOC 的面积的 2 倍,求此直线的函数表达式.
20.(10 分)如图,在 ABC 的边 BC 上取一点 O ,以 O 为圆心,OC 为半径画 O , O
与边 AB 相切于点 D , AC AD ,连接 OA 交 O 于点 E ,连接 CE ,并延长交线段 AB 于
点 F .
(1)求证: AC 是 O 的切线;
(2)若 10AB , 4tan 3B ,求 O 的半径;
(3)若 F 是 AB 的中点,试探究 BD CE 与 AF 的数量关系并说明理由.
四、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分,答案写在答题卡上)
21.(4 分)已知 7 3a b ,则代数式 2 26 9a ab b 的值为 .
22.(4 分)关于 x 的一元二次方程 2 32 4 02x x m 有实数根,则实数 m 的取值范围
是 .
23.(4 分)如图,六边形 ABCDEF 是正六边形,曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 叫做“正六边形的渐
开线”, 1FA , 1 1A B , 1 1B C , 1 1C D , 1 1D E , 1 1E F , 的圆心依次按 A ,B ,C ,D ,E ,
F 循环,且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当 1AB 时,曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F
的长度是 .
24.(4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 ( 0)y mx m 与双曲线 4y x
交于 A ,C 两
点(点 A 在第一象限),直线 ( 0)y nx n 与双曲线 1y x
交于 B , D 两点.当这两条直
线互相垂直,且四边形 ABCD 的周长为10 2 时,点 A 的坐标为 .
25.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, 4AB , 3BC ,E ,F 分别为 AB ,CD 边的中点.动
点 P 从点 E 出发沿 EA 向点 A 运动,同时,动点 Q 从点 F 出发沿 FC 向点 C 运动,连接 PQ ,
过点 B 作 BH PQ 于点 H ,连接 DH .若点 P 的速度是点 Q 的速度的 2 倍,在点 P 从点 E
运动至点 A 的过程中,线段 PQ 长度的最大值为 ,线段 DH 长度的最小值为 .
五、解答题(本大题共 3 个小题,共 30 分,解答过程写在答题卡上)
26.(8 分)在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月
获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本为 10 元 / 件,拟采取
线上和线下两种方式进行销售.调查发现,线下的月销量 y (单位:件)与线下售价 x(单
位:元 / 件,12 24)x 满足一次函数的关系,部分数据如下表:
x (元 / 件) 12 13 14 15 16
y (件 ) 1200 1100 1000 900 800
(1)求 y 与 x 的函数关系式;
(2)若线上售价始终比线下每件便宜 2 元,且线上的月销量固定为 400 件.试问:当 x 为
多少时,线上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润.
27.(10 分)在矩形 ABCD 的CD 边上取一点 E ,将 BCE 沿 BE 翻折,使点 C 恰好落在 AD
边上点 F 处.
(1)如图 1,若 2BC BA ,求 CBE 的度数;
(2)如图 2,当 5AB ,且 10AF FD 时,求 BC 的长;
(3)如图 3,延长 EF ,与 ABF 的角平分线交于点 M ,BM 交 AD 于点 N ,当 NF AN FD
时,求 AB
BC
的值.
28.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 2y ax bx c 与 x 轴交于 ( 1,0)A ,
(4,0)B 两点,与 y 轴交于点 (0, 2)C .
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图 1,点 D 为第四象限抛物线上一点,连接 AD ,BC 交于点 E ,连接 BD ,记 BDE
的面积为 1S , ABE 的面积为 2S ,求 1
2
S
S
的最大值;
(3)如图 2,连接 AC , BC ,过点 O 作直线 / /l BC ,点 P , Q 分别为直线 l 和抛物线上
的点.试探究:在第一象限是否存在这样的点 P ,Q ,使 PQB CAB ∽ .若存在,请求出
所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
2020 年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题均有四个选项,其中只
有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
1.(3 分) 2 的绝对值是 ( )
A. 2 B.1 C.2 D. 1
2
【解答】解: 2 的绝对值为 2.
故选: C .
2.(3 分)如图所示的几何体是由 4 个大小相同的小立方块搭成,其左视图是 ( )
A. B. C. D.
【解答】解:从左面看是一列 2 个正方形.
故选: D .
3.(3 分)2020 年 6 月 23 日,北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发
射并顺利进入预定轨道,它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导
航系统全面建成.该卫星距离地面约 36000 千米,将数据 36000 用科学记数法表示为 ( )
A. 33.6 10 B. 43.6 10 C. 53.6 10 D. 436 10
【解答】解: 436000 3.6 10 ,
故选: B .
4.(3 分)在平面直角坐标系中,将点 (3,2)P 向下平移 2 个单位长度得到的点的坐标是 ( )
A. (3,0) B. (1,2) C. (5,2) D. (3,4)
【解答】解:将点 (3,2)P 向下平移 2 个单位长度所得到的点坐标为 (3,2 2) ,即 (3,0) ,
故选: A .
5.(3 分)下列计算正确的是 ( )
A.3 2 5a b ab B. 3 2 6a a a C. 3 2 6 2( )a b a b D. 2 3 3a b a b
【解答】解: A 、 3a 与 2b 不是同类项,不能合并,原计算错误,故此选项不符合题意;
B 、 3 2 5a a a ,原计算错误,故此选项不符合题意;
C 、 3 2 6 2( )a b a b ,原计算正确,故此选项符合题意;
D 、 2 3 3a b a ab ,原计算错误,故此选项不符合题意.
故选: C .
6.(3 分)成都是国家历史文化名城,区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青
羊宫都有深厚的文化底蕴.某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行,人数分别为:12,
5,11,5,7(单位:人),这组数据的众数和中位数分别是 ( )
A.5 人,7 人 B.5 人,11 人 C.5 人,12 人 D.7 人,11 人
【解答】解:5 出现了 2 次,出现的次数最多,则众数是 5 人;
把这组数据从小到大排列:5,5,7,11,12,最中间的数是 7,则中位数是 7 人.
故选: A .
7.(3 分)如图,在 ABC 中,按以下步骤作图:①分别以点 B 和 C 为圆心,以大于 1
2 BC
的长为半径作弧,两弧相交于点 M 和 N ;②作直线 MN 交 AC 于点 D ,连接 BD .若 6AC ,
2AD ,则 BD 的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【解答】解:由作图知, MN 是线段 BC 的垂直平分线,
BD CD ,
6AC , 2AD ,
4BD CD ,
故选: C .
8.(3 分)已知 2x 是分式方程 3 11
k x
x x
的解,那么实数 k 的值为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:把 2x 代入分式方程得: 1 12
k ,
解得: 4k .
故选: B .
9.(3 分)如图,直线 1 2 3/ / / /l l l ,直线 AC 和 DF 被 1l , 2l ,3l 所截, 5AB , 6BC , 4EF ,
则 DE 的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.10
3
【解答】解:直线 1 2 3/ / / /l l l ,
AB DE
BC EF
,
5AB , 6BC , 4EF ,
5
6 4
DE ,
10
3DE ,
故选: D .
10.(3 分)关于二次函数 2 2 8y x x ,下列说法正确的是 ( )
A.图象的对称轴在 y 轴的右侧
B.图象与 y 轴的交点坐标为 (0,8)
C.图象与 x 轴的交点坐标为 ( 2,0) 和 (4,0)
D. y 的最小值为 9
【解答】解:二次函数 2 22 8 ( 1) 9 ( 4)( 2)y x x x x x ,
该函数的对称轴是直线 1x ,在 y 轴的左侧,故选项 A 错误;
当 0x 时, 8y ,即该函数与 y 轴交于点 (0, 8) ,故选项 B 错误;
当 0y 时, 2x 或 4x ,即图象与 x 轴的交点坐标为 (2,0) 和 ( 4,0) ,故选项 C 错误;
当 1x 时,该函数取得最小值 9y ,故选项 D 正确;
故选: D .
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,答案写在答题卡上)
11.(4 分)分解因式: 2 3x x ( 3)x x .
【解答】解: 2 3 ( 3)x x x x .
12.(4 分)一次函数 (2 1) 2y m x 的值随 x 值的增大而增大,则常数 m 的取值范围为
1
2m .
【解答】解:一次函数 (2 1) 2y m x 中,函数值 y 随自变量 x 的增大而增大,
2 1 0m ,解得 1
2m .
故答案为: 1
2m .
13.(4 分)如图, A , B ,C 是 O 上的三个点, 50AOB , 55B ,则 A 的度数
为 30 .
【解答】解: OB OC , 55B ,
180 2 70BOC B ,
50AOB ,
70 50 120AOC AOB BOC ,
OA OC ,
180 120 302A OCA ,
故答案为: 30 .
14.(4 分)《九章算术》是我国古代一部著名的算书,它的出现标志着中国古代数学形成了
完整的体系.其中卷八方程[ 七 ] 中记载:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金
八两.牛、羊各直金几何?”题目大意是:5 头牛、2 只羊共值金 10 两.2 头牛、5 只羊共
值金 8 两.每头牛、每只羊各值金多少两?设 1 头牛值金 x 两,1 只羊值金 y 两,则可列方
程组为 5 2 10
2 5 8
x y
x y
.
【解答】解:设 1 头牛值金 x 两,1 只羊值金 y 两,
由题意可得, 5 2 10
2 5 8
x y
x y
,
故答案为: 5 2 10
2 5 8
x y
x y
.
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 54 分,解答过程写在答题卡上)
15.(12 分)(1)计算: 212sin60 ( ) | 2 3 | 92
;
(2)解不等式组:
4 1 2,
2 1 13
x x
x x
①
②
.
【解答】解:(1)原式 32 4 2 3 32
3 4 2 3 3
3 ;
(2)
4 1 2,
2 1 13
x x
x x
①
②
,
由①得, 2x
;
由②得, 4x ,
故此不等式组的解集为: 2 4x .
16.(6 分)先化简,再求值: 2
1 2(1 )3 9
x
x x
,其中 3 2x .
【解答】解:原式 3 1 ( 3)( 3)
3 2
x x x
x x
3x ,
当 3 2x 时,
原式 2 .
17.(8 分)2021 年,成都将举办世界大学生运动会,这是在中国西部第一次举办的世界综
合性运动会.目前,运动会相关准备工作正在有序进行,比赛项目已经确定.某校体育社团
随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿,并根
据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)这次被调查的同学共有 180 人;
(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ;
(3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者,请利用画树状图或列
表的方法,求恰好选中甲、乙两位同学的概率.
【解答】解:(1)根据题意得:
54 30% 180 (人 ) ,
答:这次被调查的学生共有 180 人;
故答案为:180;
(2)根据题意得:
360 (1 20% 15% 30%) 126 ,
答:扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126 ,
故答案为:126 ;
(3)列表如下:
甲 乙 丙 丁
甲 一 (乙,甲)(丙,甲)(丁,甲)
乙 (甲,乙) 一 (丙,乙)(丁,乙)
丙 (甲,丙)(乙,丙) 一 (丁,丙)
丁 (甲,丁)(乙,丁)(丙,丁) 一
共有 12 种等可能的情况,恰好选中甲、乙两位同学的有 2 种,
P (选中甲、乙) 2 1
12 6
.
18.(8 分)成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成都旅游
打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台 A 处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一
建筑物楼项 D 处测得塔 A 处的仰角为 45,塔底部 B 处的俯角为 22.已知建筑物的高 CD
约为 61 米,请计算观景台的高 AB 的值.
(结果精确到 1 米;参考数据: sin 22 0.37 , cos22 0.93 , tan 22 0.40)
【解答】解:过点 D 作 DE AB 于点 E ,
根据题意可得四边形 DCBE 是矩形,
DE BC , 61BE DC ,
在 Rt ADE 中,
45ADE ,
AE DE ,
AE DE BC ,
在 Rt BDE 中, 22BDE ,
61 152.5tan22 0.40
BEDE
,
152.5 61 214AB AE BE DE CD (米 ) .
答:观景台的高 AB 的值约为 214 米.
19.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 ( 0)my xx
的图象经过点 (3,4)A ,过
点 A 的直线 y kx b 与 x 轴、 y 轴分别交于 B , C 两点.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)若 AOB 的面积为 BOC 的面积的 2 倍,求此直线的函数表达式.
【解答】解:(1)反比例函数 ( 0)my xx
的图象经过点 (3,4)A ,
3 4 12k ,
反比例函数的表达式为 12y x
;
(2)直线 y kx b 过点 A ,
3 4k b ,
过点 A 的直线 y kx b 与 x 轴、 y 轴分别交于 B , C 两点,
( bB k
, 0) , (0, )C b ,
AOB 的面积为 BOC 的面积的 2 倍,
1 14 | | 2 | | | |2 2
b b bk k
,
2b ,
当 2b 时, 2
3k ,
当 2b 时, 2k ,
直线的函数表达式为: 2 23y x , 2 2y x .
20.(10 分)如图,在 ABC 的边 BC 上取一点 O ,以 O 为圆心,OC 为半径画 O , O
与边 AB 相切于点 D , AC AD ,连接 OA 交 O 于点 E ,连接 CE ,并延长交线段 AB 于
点 F .
(1)求证: AC 是 O 的切线;
(2)若 10AB , 4tan 3B ,求 O 的半径;
(3)若 F 是 AB 的中点,试探究 BD CE 与 AF 的数量关系并说明理由.
【解答】解:(1)如图,连接 OD ,
O 与边 AB 相切于点 D ,
OD AB ,即 90ADO ,
AO AO , AC AD , OC OD ,
( )ACO ADO SSS ,
90ADO ACO ,
又 OC 是半径,
AC 是 O 的切线;
(2) 4tan 3
ACB BC
,
设 4AC x , 3BC x ,
2 2 2AC BC AB ,
2 216 9 100x x ,
2x ,
6BC ,
8AC AD , 10AB ,
2BD ,
2 2 2OB OD BD ,
2 2(6 ) 4OC OC ,
8
3OC ,
故 O 的半径为 8
3
;
(3)连接 OD , DE ,
由(1)可知: ACO ADO ,
90ACO ADO , AOC AOD ,
又 CO DO , OE OE ,
( )COE DOE SAS ,
OCE OED ,
OC OE OD ,
OCE OEC OED ODE ,
180 180 2DEF OEC OED OCE ,
点 F 是 AB 中点, 90ACB ,
CF BF AF ,
FCB FBC ,
180 180 2DFE BCF CBF OCE ,
DEF DFE ,
DE DF CE ,
AF BF DF BD CE BD .
四、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分,答案写在答题卡上)
21.(4 分)已知 7 3a b ,则代数式 2 26 9a ab b 的值为 49 .
【解答】解: 7 3a b ,
3 7a b ,
2 26 9a ab b
2( 3 )a b
27
49 ,
故答案为:49.
22.(4 分)关于 x 的一元二次方程 2 32 4 02x x m 有实数根,则实数 m 的取值范围是
7
2m .
【解答】解:关于 x 的一元二次方程 2 32 4 02x x m 有实数根,
△ 2 3( 4) 4 2 ( ) 16 8 12 02m m
,
解得: 7
2m ,
故答案为: 7
2m .
23.(4 分)如图,六边形 ABCDEF 是正六边形,曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 叫做“正六边形的渐
开线”, 1FA , 1 1A B , 1 1B C , 1 1C D , 1 1D E , 1 1E F , 的圆心依次按 A ,B ,C ,D ,E ,
F 循环,且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当 1AB 时,曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F
的长度是 7 .
【解答】解: 1FA 的长 60 1
180 3
,
1 1A B 的长 60 2 2
180 3
,
1 1B C 的长 60 3 3
180 3
,
1 1C D 的长 60 4 4
180 3
,
1 1D E 的长 60 5 5
180 3
,
1 1E F 的长 60 6 6
180 3
,
曲线 1 1 1 1 1 1FA B C D E F 的长度 2 6 21 73 3 3 3
,
故答案为 7 .
24.(4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 ( 0)y mx m 与双曲线 4y x
交于 A ,C 两
点(点 A 在第一象限),直线 ( 0)y nx n 与双曲线 1y x
交于 B , D 两点.当这两条直
线互相垂直,且四边形 ABCD 的周长为10 2 时,点 A 的坐标为 ( 2 , 2 2) 或 (2 2 ,
2) .
【解答】解:联立 ( 0)y mx m 与 4y x
并解得:
2
2
x
m
y m
,故点 A 的坐标为 2(
m
,2 )m ,
联立 ( 0)y nx n 与 1y x
同理可得:点 1(D n
, )n ,
这两条直线互相垂直,则 1mn ,故点 (D m , 1 )
m
,则点 (B m , 1 )
m
,
则 2 2 22 1 5( ) (2 ) 5AD m m mmm m
,
同理可得: 2 25 5AB m ADm
,
则 1 10 24AB ,即 2 25 5 52AB mm
,
解得: 2m 或 1
2
,
故点 A 的坐标为 ( 2 , 2 2) 或 (2 2 , 2) ,
故答案为: ( 2 , 2 2) 或 (2 2 , 2) .
25.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, 4AB , 3BC ,E ,F 分别为 AB ,CD 边的中点.动
点 P 从点 E 出发沿 EA 向点 A 运动,同时,动点 Q 从点 F 出发沿 FC 向点 C 运动,连接 PQ ,
过点 B 作 BH PQ 于点 H ,连接 DH .若点 P 的速度是点 Q 的速度的 2 倍,在点 P 从点 E
运动至点 A 的过程中,线段 PQ 长度的最大值为 3 2 ,线段 DH 长度的最小值为 .
【解答】解:连接 EF 交 PQ 于 M ,连接 BM ,取 BM 的中点 O ,连接 OH ,OD ,过点 O
作 ON CD 于 N .
四边形 ABCD 是矩形, DF CF , AE EB ,
四边形 ADFE 是矩形,
3EF AD ,
/ /FQ PE ,
MFQ MEP ∽ ,
MF FQ
ME PE
,
2PE FQ ,
2EM MF ,
2EM , 1FM ,
当 点 P 与 A 重 合 时 , PQ 的 值 最 大 , 此 时 2 2 2 22 2 2 2PM AE ME ,
2 2 2 21 1 2MQ FQ MF ,
3 2PQ ,
/ / / /MF ON BC , MO OB ,
1FN CN , 3DN DF FN , 1 ( ) 22ON FM BC ,
2 2 2 23 2 13OD DN ON ,
BH PQ ,
90BHM ,
OM OB ,
2 21 1 2 2 22 2OH BM ,
DH OD OH
,
13 2DH
,
DH 的最小值为 13 2 ,
故答案为 3 2 , 13 2 .
五、解答题(本大题共 3 个小题,共 30 分,解答过程写在答题卡上)
26.(8 分)在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月
获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本为 10 元 / 件,拟采取
线上和线下两种方式进行销售.调查发现,线下的月销量 y (单位:件)与线下售价 x(单
位:元 / 件,12 24)x 满足一次函数的关系,部分数据如下表:
x (元 / 件) 12 13 14 15 16
y (件 ) 1200 1100 1000 900 800
(1)求 y 与 x 的函数关系式;
(2)若线上售价始终比线下每件便宜 2 元,且线上的月销量固定为 400 件.试问:当 x 为
多少时,线上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润.
【解答】解:(1) y 与 x 满足一次函数的关系,
设 y kx b ,
将 12x , 1200y ; 13x , 1100y 代入得: 1200 12
1100 13
k b
k b
,
解得: 100
2400
k
b
,
y 与 x 的函数关系式为: 100 2400y x ;
(2)设线上和线下月利润总和为 m 元,
则 2400( 2 10) ( 10) 400 4800 ( 100 2400)( 10) 100( 19) 7300m x y x x x x x ,
当 x 为 19 元 / 件时,线上和线下月利润总和达到最大,此时的最大利润为 7300 元.
27.(10 分)在矩形 ABCD 的CD 边上取一点 E ,将 BCE 沿 BE 翻折,使点 C 恰好落在 AD
边上点 F 处.
(1)如图 1,若 2BC BA ,求 CBE 的度数;
(2)如图 2,当 5AB ,且 10AF FD 时,求 BC 的长;
(3)如图 3,延长 EF ,与 ABF 的角平分线交于点 M ,BM 交 AD 于点 N ,当 NF AN FD
时,求 AB
BC
的值.
【解答】解:(1)将 BCE 沿 BE 翻折,使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处,
BC BF , FBE EBC ,
2BC AB ,
2BF AB ,
30AFB ,
四边形 ABCD 是矩形,
/ /AD BC ,
30AFB CBF ,
1 152CBE FBC ;
(2)将 BCE 沿 BE 翻折,使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处,
90BFE C , CE EF ,
又矩形 ABCD 中, 90A D ,
90AFB DFE , 90DEF DFE ,
AFB DEF ,
FAB EDF ∽ ,
AF AB
DE DF
,
AF DF AB DE ,
10AF DF , 5AB ,
2DE ,
5 2 3CE DC DE ,
3EF ,
2 2 2 23 2 5DF EF DE ,
10 2 5
5
AF ,
2 5 5 3 5BC AD AF DF .
(3)过点 N 作 NG BF 于点 G ,
NF AN FD ,
1 1
2 2NF AD BC ,
BC BF ,
1
2NF BF ,
NFG AFB , 90NGF BAF ,
NFG BFA ∽ ,
1
2
NG FG NF
AB FA BF
,
设 AN x ,
BN 平分 ABF , AN AB , NG BF ,
AN NG x ,
设 FG y ,则 2AF y ,
2 2 2AB AF BF ,
2 2 2(2 ) (2 ) (2 )x y x y ,
解得 4
3y x .
4 102 3 3BF BG GF x x x .
2 3
10 5
3
AB AB x
BC BF x
.
28.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 2y ax bx c 与 x 轴交于 ( 1,0)A ,
(4,0)B 两点,与 y 轴交于点 (0, 2)C .
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图 1,点 D 为第四象限抛物线上一点,连接 AD ,BC 交于点 E ,连接 BD ,记 BDE
的面积为 1S , ABE 的面积为 2S ,求 1
2
S
S
的最大值;
(3)如图 2,连接 AC , BC ,过点 O 作直线 / /l BC ,点 P , Q 分别为直线 l 和抛物线上
的点.试探究:在第一象限是否存在这样的点 P ,Q ,使 PQB CAB ∽ .若存在,请求出
所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)设抛物线的解析式为 ( 1)( 4)y a x x .
将 (0, 2)C 代入得: 4 2a ,解得 1
2a ,
抛物线的解析式为 1 ( 1)( 4)2y x x ,即 21 3 22 2y x x .
(2)过点 D 作 DG x 轴于点G ,交 BC 于点 F ,过点 A 作 AK x 轴交 BC 的延长线于点 K ,
/ /AK DG ,
AKE DFE ∽ ,
DF DE
AK AE
,
1
2
BDE
ABE
S S DE DF
S S AE AK
,
设直线 BC 的解析式为 y kx b ,
4 0
2
k b
b
,解得
1
2
2
k
b
,
直线 BC 的解析式为 1 22y x ,
( 1,0)A ,
1 522 2y ,
5
2AK ,
设 21 3( , 2)2 2D m m m ,则 1( , 2)2F m m ,
2 21 1 3 12 2 22 2 2 2DF m m m m m .
2
2 21
2
1 2 1 4 1 42 ( 2)5 5 5 5 5
2
m mS m m mS
.
当 2m 时, 1
2
S
S
有最大值,最大值是 4
5
.
(3)符合条件的点 P 的坐标为 68 34( , )9 9
或 6 2 41 3 41( , )5 5
.
/ /l BC ,
直线 l 的解析式为 1
2y x ,
设 ( , )2
aP a ,
①当点 P 在直线 BQ 右侧时,如图 2,过点 P 作 PN x 轴于点 N ,过点 Q 作 QM 直线 PN
于点 M ,
( 1,0)A , (0, 2)C , (4,0)B ,
5AC , 5AB , 2 5BC ,
2 2 2AC BC AB ,
90ACB ,
PQB CAB ∽ ,
1
2
PQ AC
PB BC
,
90QMP BNP ,
90MQP MPQ , 90MPQ PBN ,
MQP PBN ,
QPM PBN ∽ ,
1
2
QM PM PQ
PN BN PB
,
4
aQM , 1 1( 4) 22 2PM a a ,
2MN a , 34 44 4
aBN QM a a ,
3(4Q a , 2)a ,
将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式得 21 3 3 3( ) 2 22 4 2 4a a a ,
解得 0a (舍去)或 68
9a .
68 34( , )9 9P .
②当点 P 在直线 BQ 左侧时,
由①的方法同理可得点 Q 的坐标为 5(4 a , 2) .
此时点 P 的坐标为 6 2 41 3 41( , )5 5
.
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