浙教版八年级上册数学同步课件-第1章-1认识三角形 30页

第1章 三角形的初步认识 1.1 认识三角形 第2课时 三角形的高、中线与角平分线 复习回顾 定义 图示 垂线 线段 中点 角平 分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的 角，这条射线叫做这个角的平分线 画一画 如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线. P ● A B 三角形的高 问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 如图，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线，垂 足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高. 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠ADB= ∠ADC=90 ° A B CD垂足 注意: 标明垂直的记号和垂足的字母. 1 高的叙述方法：（如图）有三种 ②AD⊥BC,垂足为D. ③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°. ①AD是△ABC的高. A B CD 锐角三角形的三条高 问题1 每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O 问题2 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? A B C D E F 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 探究交流 直角三角形的三条高 问题：在纸上画出一个直角三角形. (1)画出直角三角形的三条高. AB CB (2)它们有怎样的位置关系？ BD ● 直角三角形的三条高交于直角顶点. A B CD E F 钝角三角形的三条高 问题： (1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？ (2)它们所在的直线交于一点吗？ 钝角三角形的三条高不相交于一点 钝角三角形的三条高所在直线交于 一点 画钝角三角形的高微视频（单击） 画钝角三角形的高 三角形的三条高的特性 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形直角三角形锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线 的交点的位置 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 归纳 典例精析 例1：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6， AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求 BP的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP 有最小值． 由△ABC的面积公式可知, AD·BC＝ BP·AC.1 2 1 2 代入数值，可解得BP＝ .24 5 方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度， 一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面 积的两种不同表示方法列等式求解. 三角形的中线 问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ A C B AC=BC= AB1 2 2 问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为 △ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形 的中线？ A B C 定义： 如图，连接△ABC的顶点A和它所 对的边BC的中点D,所得线段AD 叫做△ABC的边BC上的中线. 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BD=CD= BC1 2 D 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三 角形的重心. A B C A B C A B CD EF D D EF EFO O O 问题3 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是 △ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为 什么？ B CD E A 答：相等，因为两个三角形等底同 高，所以它们面积相等. 问题4 通过问题3你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 典例精析 例2：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点 D是AC的中点，设△ABC、△ADF和△BEF的面积分别为 S△ABC 、 S△ADF和S△BEF，S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值. 解：∵点D是AC的中点，∴AD＝ AC.1 2 ∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6.1 2 1 2 ∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4.1 3 1 3 方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相 等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的 比；底相等时，面积的比等于高的比． ∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋ S△BEF)＝S△ADF－S△BEF， 即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 三角形的角平分线 问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ A C BO ∠AOC= ∠BOC 问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角 的平分线吗? A B C D 想一想：三角形的角 平分线与角的角平分 线相同吗? 相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD； 不同点是：前者是线段，后者是射线. 3 问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你 发现了什么？ 三角形的三条角平分线交于一点． A B CD EF 问题3：一个三角形有几条角平分线？ 3 称之为三角形的内心． 观察锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三 条角平分线，你又有什么发现？ 例3：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED= 80°，求∠ECD的度数. 解：∵DC平分∠ACB, 又DE∥BC, 典例精析 ∴∠ACB=∠AED=80°. ∴∠ECD=40°. ∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB.1 2 D C B A D C B A 2 1 D C B A 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点 向它的对边所在的直 线作垂线,顶点和垂足 之间的线段 ∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90° 三角形 的中线 三角形中,连接一个顶 点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上 的中线， ∴ BD=CD= BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平 分线与它的对边相交, 这个角顶点与交点之 间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC 的平分线， ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 1．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在 以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE； ③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段 中可以作为△ABC的高的有 （　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 B 4.填空： （1）如图1，AD，BE,CF是△ABC的三条中线，则 AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿ (2)如图2，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则 ∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=______. 图1 图2 AF DC ∠2 2∠4 AC1 2 ∠ABC 1 2 5. AD △ ABC CE △ ACD S AEC= 3 cm2 S ABC =______.12 cm2 6.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5 cm, △DBC的周长为 25 cm,求△ADC的周长. A D B C 解： ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD . ∵BC-AC=5 cm, ∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm, 又∵ △DBC的周长为25cm， ∴ △ADC的周长=25-5=20(cm). 能力提升：王大爷有一块三角形的菜 地,现在要将它们平均分给四个儿子, 在菜地的一角A处有一口池塘,为了使 分开后的四块菜地都就近取水,王大爷 为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮 王大爷吗？ 如果不考虑水源,你认为还可以怎 样分? A 思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两 部分. 三 角 形 重 要 线 段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中 线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两 个三角形，这两个三角形的周长 差等于原三角形其余两边的差 角平分线