人教版九年级上册同步练习题及解析：降次（5） 4页

22．2 降次---解一元二次方程（第五课时） 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 ◆随堂检测 1、已知一元二次方程 0132 2  xx 的两根为 1x 、 2x ，则  21 xx ______． 2、关于 x 的一元二次方程 2 0x bx c   的两个实数根分别为 1 和 2，则b  ______， c  ______． 3、一元二次方程 2 1 0x ax   的两实数根相等，则 a 的值为（ ） A． 0a  B． 2a  或 2a   C． 2a  D． 2a  或 0a  4、已知方程 2 3 1 0x x   的两个根为 1x 、 2x ，求 1 2(1 )(1 )x x  的值. ◆典例分析 已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 0x m x m    有两个实数根 1x 和 2x ． （1）求实数 m 的取值范围； （2）当 2 2 1 2 0x x  时，求 m 的值． （提示：如果 1x 、 2x 是一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的两根，那么有 1 2 bx x a    ， 1 2 cx x a  ） 分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求 m 的值一定须 在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方. 解:（1）∵一元二次方程 2 2(2 1) 0x m x m    有两个实数根, ∴△＝ 2 2(2 1) 4 1 4 1 0m m m        ,∴ 1 4m  . （2）当 2 2 1 2 0x x  时，即 1 2 1 2( )( ) 0x x x x   ,∴ 1 2 0x x  或 1 2 0x x  . 当 1 2 0x x  时，依据一元二次方程根与系数的关系可得 1 2 (2 1)x x m    , ∴ (2 1) 0m   ,∴ 1 2m  . 又∵由（1）一元二次方程 2 2(2 1) 0x m x m    有两个实数根时 m 的取值范围是 1 4m  ,∴ 1 2m  不成立,故 m 无解； 当 1 2 0x x  时， 1 2x x ,方程有两个相等的实数根, ∴△＝ 2 2(2 1) 4 1 4 1 0m m m        ,∴ 1 4m  . 综上所述,当 2 2 1 2 0x x  时， 1 4m  . ◆课下作业 ●拓展提高 1、关于 x 的方程 2 0x px q   的两根同为负数，则（ ） A． 0p > 且 q > 0 B． 0p > 且 q < 0 C． 0p < 且 q > 0 D． 0p < 且 q < 0 2、若关于 x 的一元二次方程 2 24 3 0x kx k    的两个实数根分别是 1 2,x x ,且满足 1 2 1 2x x x x   .则 k 的值 为（ ） A、－1 或 3 4 B、－1 C、 3 4 D、不存在 (注意: k 的值不仅须满足 1 2 1 2x x x x   ,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即 k 的值必须使得 △ 0 才可以.) 3、已知 1x 、 2x 是方程 2 6 3 0x x   的两实数根，求 2 1 1 2 x x x x  的值. 4、已知关于 x 的方程 2 3 0x x m   的一个根是另一个根的 2 倍，求 m 的值. 5、已知 1x ， 2x 是关于 x 的方程 ( 2)( ) ( 2)( )x x m p p m     的两个实数根． （1）求 1x ， 2x 的值； （2）若 1x ， 2x 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数 m，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积 最大？并求出其最大值． ●体验中考 1、（2009 年，河北）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 22 8 7 0x x   的两个根，则这 个直角三角形的斜边长是（ ） A． 3 B．3 C．6 D．9 (提示：如果直接解方程 22 8 7 0x x   ，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出 直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数 的关系进行简便求解.) 2、（2008 年，黄石）已知 ,a b 是关于 x 的一元二次方程 2 1 0x nx   的两个实数根,则式子 b a a b  的值是 （ ） A． 2 2n  B． 2 2n  C． 2 2n  D． 2 2n  参考答案： ◆随堂检测 1、 2 3 . 依据一元二次方程根与系数的关系可得 1 2 3 2x x  . 2、－3,2 依据一元二次方程根与系数的关系可得 1 2 1 2 x x b x x c      ， ∴ (1 2) 3, 1 2 2b c        . 3、B. △＝ 2 2( ) 4 1 1 4 0a a       ，∴ 2a  或 2a   ，故选 B. 4、解：由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 3 1 x x x x      ， ∴ 1 2 1 2 1 2(1 )(1 ) 1 ( ) 1 3 1 1x x x x x x           . ◆课下作业 ●拓展提高 1、A. 由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 x x p x x q      ，当方程 2 0x px q   的两根 1 2,x x 同 为负数时， 1 2 1 2 0 0 x x x x     ，∴ 0p > 且 q > 0 ，故选 A. 2、C. 由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 2 1 2 4 3 x x k x x k       ， ∵ 1 2 1 2x x x x   ，∴ 24 3k k   ，解得 1 1k   ， 2 3 4k  . 当 1 1k   时,△＝ 2 2 2 24 1 (4 3) 15 12 15 ( 1) 12 3 0k k k               , 此时方程无实数根, 故 1 1k   不合题意,舍去. 当 2 3 4k  时,△＝ 2 2 2 234 1 (4 3) 15 12 15 ( ) 12 04k k k            ,故 2 3 4k  符合题意.综上所 述, 2 3 4k  .故选 C. 3、解：由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 6 3 x x x x      ， ∴ 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 ( 6) 2 3 103 x x x x x x x x x x x x x x           . 4、解：设方程 2 3 0x x m   的两根为 1x 、 2x ，且不妨设 1 22x x . 则由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 3x x x x m     ， 代入 1 22x x ,得 2 2 2 3 3 2 x x m    ,∴ 2 1x  , 2m  . 5、解：（1）原方程变为： 2 2( 2) 2 ( 2) 2x m x m p m p m       ∴ 2 2 ( 2) ( 2) 0x p m x m p      ， ∴ ( )( ) ( 2)( ) 0x p x p m x p      ， 即 ( )( 2) 0x p x p m     ， ∴ 1x p ， 2 2x m p   ． （2）∵直角三角形的面积为 )2(2 1 2 1 21 pmpxx  = pmp )2(2 1 2 1 2  = )]4 )2(()2 2()2([2 1 2 22  mmpmp = 8 )2()2 2(2 1 2 2  mmp ， ∴当 2 2 mp 且 m＞－2 时，以 x1，x2 为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为 8 )2( 2m 或 2 2 1 p ． ●体验中考 1、B. 设 1x 和 2x 是方程 22 8 7 0x x   的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 4 7 2 x x x x    ∴ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 7( ) 2 4 2 92x x x x x x        ，∴这个直角三角形的斜边长是 3，故选 B. 2、D 由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 a b n ab       ， ∴ 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( )2 2 21 b a a b a b ab a b n na b ab ab ab               .故选 D.