高考数学二轮复习特色专题训练专题03直击函数压轴题中零点问题理 31页

专题 03 直击函数压轴题中零点问题 一、解答题 1．已知函数      2ln 1 0f x x a x a    . （1）讨论  f x 的单调性； （2）若  f x 在区间  0,1 内有唯一的零点 0x ，证明： 3 12 0e x e    . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）依题可知  1 0f  ，若  f x 在区间  0,1 内有唯一的零点 0x ，由（1）可知 2a  ， 且 0 1 10, 2 x x       ，于是：  2 0 0 1 0lnx a x   ①， 2 0 02 2 1 0ax ax   ② 由①②得 0 0 0 1ln 0 2 xx x    ，设 g(x)＝lnx− 1 2 x x  ，(x∈(0，1))，求出函数的导数，根据函数的单调性证明 即可． （2）依题可知  1 0f  ，若  f x 在区间  0,1 内有唯一的零点 0x ，由（1）可知 2a  ， 且 0 1 10, 2 x x       . 于是：  2 0 0 1 0lnx a x   ① 2 0 02 2 1 0ax ax   ② 由①②得 0 0 0 1ln 0 2 xx x    ，设     1ln , 0,1 2 xg x x x x     ， 则   2 2 1 2 xg x x    ，因此  g x 在 10, 2       上单调递减， 又 3 3 2 2 4 0 2 eg e         ，   1 1 3 0 2 eg e      根据零点存在定理，故 3 12 0e x e    . 点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分 类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法. 2．设函数 f(x)＝x2 ＋bx－1(b∈R)． (1)当 b＝1 时证明：函数 f(x)在区间 1 ,1 2       内存在唯一零点； (2)若当 x∈[1,2]，不等式 f(x)<1 有解．求实数 b的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）  ,1 【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数 f(x)在区间 1 ,1 2       单调性，再根据区 间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为对应函数最值问题： 2b x x   ， 再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数 b 的取值范围． (2)由题意可知 x2＋bx－1<1 在区间[1,2]上有解， 所以 b< ＝ －x在区间[1,2]上有解． 令 g(x)＝ －x，可得 g(x)在区间[1,2]上递减， 所以 b