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- 2021-05-27 发布
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a等于( )
A．－3 B．－ C．3 D. 或－3
2．已知a＝(－1，－2)，b＝(1，λ)．若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A. B. C. ∪ D．(2，＋∞)
3．对一切实数，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞) C．[－2,2] D．[0，＋∞)
4．若A={x|x2+(p+2)x+1=0，x∈R}，且A∩(0,+∞)=，则实数P的取值范围是（ ）
A．p≥－2 B．p≤－2 C．p＞2 D．p＞－4
5.设集合A={x|x2+6x=0}，B={x|x2+3(a+1)x+a2―1=0}，且A∪B=A，则实数a的取值范围是 .
6.方程(1-k)x2+(3-k2)y2=4 (k∈R)，当k=_________时，表示圆；当k∈_________时，表示椭圆；当k∈_________时，表示双曲线；当k=_________时，表示两条直线.
7. (2017 桂林市模拟) 已知y=f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，则满足f（f（a））=的实数a的个数为 ．
8．若函数在其定义域内有极值点，则a的取值范围为________.
9.（2018 天津校级模拟）已知函数f（x）=（ax2+x）﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
10．连掷两次骰子得到的点数为m和n，记向量a＝(m，n)，与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，]的概率是________．
11.解关于的不等式:.
12. （2017 宜宾模拟）已知函数f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）．
（1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值．
13. 已知a∈R，函数.
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；
（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；
（3）设a＞0，若对任意，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.
.
14．已知向量，，且.
（1）求，及；
（2）若的最小值是，求的值.
15．已知A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|∶|AF2|=3∶1，如图.
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设，，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.
【参考答案】
1．【答案】D
【解析】当a<0时，在x∈[－3,2]上，当x＝－1时取得最大值，得a＝－3；
当a>0时，在x∈[－3,2]上，当x＝2时取得最大值，得a＝
2．【答案】C
【解析】∵〈a，b〉为钝角，∴a·b<0，即有λ>－.又当λ＝2时，a与b反向．故选C.
3．【答案】B
【解析】本题是不等式恒成立问题，可以构造函数，把函数转化为y＝x＋型，通过求解函数的最值得到结论．由不等式x2＋a|x|＋1≥0对一切实数恒成立．①当x＝0时，则1≥0，显然成立；②当x≠0时，可得不等式a≥－|x|－对x≠0的一切实数成立．令f(x)＝－|x|－＝－≤－2.当且仅当|x|＝1时，“＝”成立．
∴f(x)max＝－2，故a≥f(x)max＝－2.
4．【答案】D
【解析】当A∩B=时，集合A=或A中方程没有正数解，要注意A本身为空集的情况.
（1）当A=时，即二次方程无解Δ=(p+2)2－4＜0－4＜p＜0
（2）当A≠时，即方程的解为非正数
由（1）（2）知p＞－4，选D.
5.【答案】
【解析】A={x|x2+6x=0}={0，―6}，由A∪B=A，得BA.
（1）当B=时，即方程x2+3(a+1)x+a2―1=0无实数根，
由Δ=9(a+1)2―4(a2―1)＜0，解得.
（2）当B≠时，即B={0}或B={―6}或B={0，－6}.
①当B={0}时，即方程x2+3(a+1)x+a2－1=0有两个等根为0.
∴，∴a=－1
②当B={―6}时，即方程x2+3(a+1)x+a2―1有两个等根为―6，
∴ ，此方程组无解.
③当B={0，―6}时，即方程x2+3(a+1)x+a2―1=0有两个实根0和―6，
∴，∴a=1
综上可知实数a的取值范围是.
6.【答案】 k=-1；k∈(,-1)∪(-1,1)；k∈(-∞, )∪(1,)；k=1或k=
【解析】
①表示圆时，1-k=3-k2>0，解得k=-1
②表示椭圆时，，解得：k∈(,-1)∪(-1,1);
③表示双曲线时，(1-k)(3-k2)<0，
解得k∈(-∞, )∪(1,)；
④表示两直线时，或，
解得k=1或k=.
7.【答案】8
【解答】令f（a）=x，则f[f（a）]= 变形为f（x）=
当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；
∵f（x）为偶函数，
∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；
综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；
当a≥0时，
f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；
f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；
f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；
f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；
故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，
综上所述，满足f[f（a）]= 的实数a的个数为8，故答案为：8．
8．【答案】或
【解析】问题即有解.
当a―1=0时满足；
当a―1≠0时，只需Δ=a2+(a－1)＞0，解得或.
9.【答案】
【解析】求导函数可得：f′（x）=2ax﹣lnx
∵函数f（x）=（ax2+x）﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=2ax﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立
∴2a≥令g（x）=（x＞0），则
令g′（x）＞0，可得0＜x＜e；令g′（x）＜0，可得x＞e；
∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减
∴x=e时，函数取得最大值
∴2a≥∴
10．【答案】
【解析】∵m>0，n>0，
∴a＝(m，n)与b＝(1，－1)不可能同向．
∴夹角θ≠0.∴θ∈(0，]⇔a·b≥0，∴m≥n.
当m＝6时，n＝6,5,4,3,2,1；
当m＝5时，n＝5,4,3,2,1；
当m＝4时，n＝4,3,2,1；
当m＝3时，n＝3,2,1；
当m＝2时，n＝2,1；
当m＝1时，n＝1；
∴概率是＝
11.【解析】原不等式可化为：，
(1)当时，，即；
(2)当时，不等式化为，
∵，∴，故不等式解为；
（3）当时，不等式化为，
①当，即时，不等式解为；
②当，即时，不等式解为；
③当，即时，不等式解为；
综上所述，原不等式的解集为：
时，；
时，；
时，；
时，；
时，.
12.【解析】（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）可知x＞0，有：f′（x）=lnx+1+a﹣2x，
∵函数f（x）在区间[e，+∞） 上为减函数，
∴当x∈[e，+∞）时，f′（x）≤0，即lnx+1+a﹣2x≤0在区间[e，+∞）上恒成立，
∴a≤2x﹣lnx﹣1在x∈[e，+∞） 上恒成立．
令g（x）=2x﹣lnx﹣1，，当时，g′（x）≥0，g（x）单增； 时，g′（x）≤0，g（x）单减．
∴x∈[e，+∞）时，g（x）min=g（e）=2e﹣2∴a≤2e﹣2．
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，
即k（x﹣1）＜xlnx+x恒成立．
法一：∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0．
则问题转化为 对任意x∈（1，+∞）恒成立，
设函数，则，
再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则．
∵x∈（1，+∞），∴m'（x）＞0，
则m（x）=x﹣lnx﹣2在x∈（1，+∞）上为增函数，
∵m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，
∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0．
∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h（x）＜0；
当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h（x）＞0
∴在x∈（1，x0）上递减，在x∈（x0，+∞）上递增．
∴h（x）的最小值为．
∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴ln（x0）+1=x0﹣1，代入函数，得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x），对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3．
法二：令g（x）=f（x）﹣[（k+a﹣1）x﹣k]=xlnx﹣（k﹣1）x+k（x＞1），
∴g′（x）=lnx+1﹣（k﹣1）=lnx+2﹣k，
当2﹣k≥0时，即k≤2时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上单调递增，
∴g（x）＞g（1）=1＞0恒成立，而k∈N*
∴k=1或k=2．
当2﹣k＜0时，即k＞2时，g′（x）=0⇒x=ek﹣2，
∴g（x）在（1，ek﹣2）上单调递减，在（ek﹣2，+∞）上单调递增，
∴恒成立，∴k＞ek﹣2，而k∈N*，∴k=3．
综上可得，k=1或k=2或k=3时成立．
13.【解析】（1）由，得，解得{x｜0＜x＜1}．
（2）有且仅有一解，
等价于有且仅有一解，等价于ax2+x－1=0有且仅有一解．
当a=0时，x=1，符合题意；
当a≠0时，Δ=1+4a=0，．
综上，a=0或．
（3）当0＜x1＜x2时，，，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减．
函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值分别为f（t），f（t+1）。
即at2+(a+1)t－1≥0，对任意成立。
因为a＞0，所以函数y=at2+(a+1)t－1在区间上单调递增，
所以时，y有最小值，由，得。
故a的取值范围为
14．【解析】
（1）.
∵，∴，∴.
（2），即
∵，∴，
①当时，当且仅当时，取得最小值－1，这与已知矛盾.
②当时，当且仅当时，取得最小值，
由已知得，解得；
③当时，当且仅当时，取得最小值，
由已知得，解得，这与相矛盾.
综上所述，即为所求.
15．【解析】
（1）当AC垂直于x轴时，，
又∵|AF1|∶|AF2|=3∶1，
∴，从而，
∴a2=2b2，∴a2=2c2，∴.
（2）由（1）得椭圆的方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（－b，0），F2（b，0）.
①当AC、AB的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），
则AC所在的直线方程为，
由得.
又A（x0，y0）在椭圆x2+2y2=2b2上，∴，
则有.
∴，
∴，
故，
同理可得，∴；
②若AC⊥x轴，则，，这时；
③若AB⊥x轴，则，，这时.
综上可知是定值6.