步步高广东专用高考数学二轮复习 专题训练七 排列组合与二项式定理 理 12页

第 1 讲　排列、组合与二项式定理 考情解读 　1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不 在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、 选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展 开式的性质求有关系数问题．主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑 思维能力.2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空 题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中， 难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等． 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要 通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 2．排列与组合 (1)排列：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数公式是 Amn＝n(n －1)(n－2)…(n－m＋1)或写成 Amn＝ n！ n－m！. (2)组合：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个组合．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数公式是 Cmn＝ nn－1n－2…n－m＋1 m！ 或写成 Cmn＝ n！ m！n－m！. (3)组合数的性质 ①Cmn＝Cn－mn ； ②C mn＋1＝Cmn＋Cm－1n . 3．二项式定理 (1)二项式定理：( a＋b)n ＝C 0nanb0 ＋C 1nan － 1b＋C 2nan － 2b2 ＋…＋C rnan － rbr ＋…＋C nna0bn(r＝ 0,1,2，…，n)． (2)二项展开式的通项 Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中 C rn叫做二项式系数． (3)二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即 C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n ，…，Ckn＝Cn－kn ，…. ②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值；当 n 为奇数时，中间的 两项的二项式系数 ， 相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n； b．C0n＋C2n＋…＋C2rn ＋…＝C1n＋C3n＋…＋C2r＋1n ＋…＝ 1 2·2n＝2n－1. 热点一　两个计数原理 例 1 　(1)将 1,2,3，…，9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一 列从上到下分别依次增大．当 3,4 固定在图中的位置时，填写空格的方法为(　　) A．6 种 B．12 种 C．18 种 D．24 种 (2)如果一 个三位正整数“ a1a2a3”满足 a10，即 5 2x2－m≤0 在区间[ 2 2 ， 2]上恒 成立，所以 m≥( 5 2·x2)max，在区间[ 2 2 ， 2]上，易知当 x＝ 2时， 5 2x2 有最大值，最大值为 5，所以 m≥5. 即实数 m 的取值范围是[5，＋∞)． (推荐时间：60 分钟) 一、选择题 1．(2014·安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60°的共有 (　　) A．24 对 B．30 对 C．48 对 D．60 对 答案　C 解析　如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，与面对角线 AC 成 60°角的面对 角线有 B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共 8 条，同理与 DB 成 60° 角的面对角线也有 8 条．因此一个面上的 2 条面对角线与其相邻的 4 个面上 的 8 条对角线共组成 16 对．又正方体共有 6 个面，所以共有 16×6＝ 96(对)．又因为每对被计算了 2 次，因此成 60°角的面对角线有 1 2×96＝48(对)． 2．在(x－ 2 x)5 的二项展开式中，x2 的系数为(　　) A．40 B．－40 C．80 D．－80 答案　A 解析　(x－ 2 x)5 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5x5－r(－ 2 x)r＝(－2)rCr5 ， 令 5－ 3r 2 ＝2，得 r＝2，故展开式中 x2 的系数是(－2)2C25＝40，故选 A. 3．从 8 名女生和 4 名男生中，抽取 3 名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样， 则不同的抽取方法数为(　　) A．224 B．112 C．56 D．28 35 2 r x − 答案　B 解析　根据分层抽样，从 8 个人中抽取男生 1 人，女生 2 人；所以取 2 个女生 1 个男生的方 法：C28C14＝112. 4．若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则 a0＋a1＋a3＋a5 的值为(　　) A．122 B．123 C．243 D．244 答案　B 解析　在已知等式中分别取 x＝0、x＝1 与 x＝－1，得 a0＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35，a0 －a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，因此有 2(a1＋a3＋a5)＝35＋1＝244，a1＋a3＋a5＝122，a0＋a1＋a3 ＋a5＝123， 故选 B. 5．(2014·四川)在 x(1＋x)6 的展开式中，含 x3 项的系数为(　　) A．30 B．20 C．15 D．10 答案　C 解析　因为(1＋x)6 的展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr6xr，x(1＋x)6 的展开式中含 x3 的项为 C26x3 ＝15x3，所以系数为 15. 6．计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画，排成一列，要求同一品 种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有(　　) A．A44A55 B．A33A44A35 C．C13A44A55 D．A22A44A55 答案　D 解析　先把 3 种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放 在中间，又油画与国画有 A 22种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有 A 22A44A 55种． 7．二项式( x－ 1 3 x)n 的展开式中第 4 项为常数项，则常数项为(　　) A．10 B．－10 C．20 D．－20 答案　B 解析　由题意可知二项式( x－ 1 3 x)n 的展开式的常数项为 T4＝C3n( x)n－3(－ 1 3 x)3＝(－1)3C 3n ， 令 3n－15＝0，可得 n＝5. 故所求常数项为 T4＝(－1)3C35＝－10，故选 B. 3 15 6 n x − 8．有 A、B、C、D、E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A、B 两位学生 去问成绩，老师对 A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对 B 说：你是第三名．请 你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为(　　) A．6 B．18 C．20 D．24 答案　B 解析　由题意知，名次排列的种数为 C13A33＝18. 9．在二项式(x2－ 1 x)n 的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为 (　　) A．32 B．－32 C．0 D．1 答案　C 解析　依题意得所有二项式系数的和为 2n＝32，解得 n＝5. 因此，令 x＝1，则该二项展开式中的各项系数的和等于(12－ 1 1)5＝0，故选 C. 10．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的 4 个小方格内，每格涂一种颜色，相 邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为(　　) A．60 B．80 C．120 D．260 答案　D 解析　如图所示，将 4 个小方格依次编号为 1,2,3,4.如果使用 2 种颜色，则只 能是第 1,4 个小方格涂一种，第 2,3 个小方格涂一种，方法种数是 C25A22＝20； 如果使用 3 种颜色，若第 1,2,3 个小方格不同色，第 4 个小方格只能和第 1 个小 方格相同，方法种数是 C35A33＝60，若第 1,2,3 个小方格只用 2 种颜色，则第 4 个方格只能用第 3 种颜色，方法种数是 C35×3×2＝60；如果使用 4 种颜色，方法种数是 C45A44＝120.根据分类加 法计数原理，知总的涂法种数是 20＋60＋60＋120＝260，故选 D. 二、填空题 11．“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为 2013 年社 会关注的五个焦点．小王想利用 2014“五一”假期的时间调查一下社会对这些热点的关注 度．若小王准备按照顺序分别调查其中的 4 个热点，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热 点，但不作为第一个调查热点的调查顺序总数为________． 答案　72 解析　先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这 4 个热点选出 3 个， 有 C 34种不同的选法；在调查时，“雾霾治理”安排的调查顺序有 A13种可能情况，其余三个热 点调查顺序有 A 33种，故不同调查顺序的总数为 C34A13A33＝72. 12．(x－1)(4x2＋ 1 x2－4)3 的展开式中的常数项为________． 答案　160 解析　(x－1)(4x2＋ 1 x2－4)3＝(x－1)(2x－ 1 x)6，其中(2x－ 1 x)6 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr6 (2x)6－r·(－ 1 x)r＝(－1)r·Cr6·26－r·x6－2r， 令 r＝3，可得 T4＝(－1)3C36·23＝－160， 所以二项式(x－1)(4x2＋ 1 x2－4)3 的展开式中常数项为(－1)×(－160)＝160. 13．(2014·北京)把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不 相邻，则不同的摆法有________种． 答案　36 解析　将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 A22A 44种方法，将产 品 A，B，C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A22A 33种方法．于 是符合题意的排法共有 A22A44－A22A33＝36(种)． 14．(2014·课标全国Ⅱ)(x＋a)10 的展开式中，x7 的系数为 15，则 a＝________.(用数字填写 答案) 答案　 1 2 解析　设通项为 Tr＋1＝C r10x10－rar，令 10－r＝7， ∴r＝3，∴x7 的系数为 C 310a3＝15，∴a3＝ 1 8，∴a＝ 1 2. 15．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工， 且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为________． 答案　36 解析　若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有 C13×A22×C13＝18 种；若甲、乙分到的车间再 分一人，则分法有 3×C13×A22＝18 种．所以满足题意的分法共有 18＋18＝36 种． 16．已知(x＋ a x)6(a>0)的展开式中常数项为 240，则(x＋a)(x－2a)2 的展开式中 x2 项的系数 为________． 答案　－6 解析　(x＋ a x)6 的二项展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6x6－r( a x)r＝Cr6a ，令 6－ 3r 2 ＝0，得 r＝4，则其常数项为 C46a4＝15a4＝240，则 a4 36 2 r x − ＝16，由 a>0，故 a＝2.又(x＋a)(x－2a)2 的展开式中，x2 项为－3ax2.故 x2 项的系数为(－ 3)×2＝－6.