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- 2021-04-15 发布
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(第 4 题图)
富锦一中 2016-2017 学年度第二学期高三一模反馈测试
数学试卷 理科
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题意要求的.
1.已知全集 U=R,集合
01|A x
xx , 1| xxB ,则集合 0| xx 等于
A. A B B. A B C. UC A B( ) D. UC A B( )
2. 在复平面内,复数 32 i1 i
对应的点位于 ( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
3.在正项等比数列{ }na 中, 1a 和 19a 为方程 016102 xx
的两根,则 8 10 12a a a 等于( )
A.16 B.32 C.64 D.256
4.在右图的算法中,如果输入 A=138,
B=22,则输出的结果是( )
A. 2 B.4 C.128 D.0
5. 有下列说法:(1)“ p q ”为真是“ p q ”为真的充分不必要条件;(2)“ p q ”为
假是“ p q ”为真的充分不必要条件;(3)“ p q ”为真是“ p ”为假的必要不充分条
件;(4)“ p ”为真是“ p q ”为假的必要不充分条件。其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.若 nS 是等差数列 na 的前n 项和,且 8 3 10S S ,则 11S 的值为( )
A.12 B.18 C.22 D.44
7.若 n
x
x )
2
1( 3
展开式中第三项与第四项的二项式系数相等且为最大,则展开式中常数
项为( )
A. 6 B. 6 C.
4
5 D.
4
5
8.若三角形 ABC 中,sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
9. 点 A、B、C、D 在同一球面上,AB=BC= 2 ,AC=2,若四面体 ABCD 的
体积的最大值为
3
2 ,则这个球的表面积为 ( )
A.
6
125 B. 8 C.
4
25 D.
16
25
10.已知抛物线 2 2y x 上一点 A 到焦点 F 的距离与其到对称轴的距离之比为 5:4,且
2AF ,则 A 点到原点的距离为( )
A. 41 B. 2 2 C.4 D.8
11. 若实数 x 、 y 满足
1
0
0
y
yx
yx
,则 3 x ·9 y 的最大值是( )
A.3 B. 9 C. 18 D. 27
12.已知函数
0,
0,0
)(
xe
x
xf x
,则使函数 mxxfxg )()( 有零点的实数 m 的取值范
围是( )
A. )1,0[ B. )1,( C. ),1(]0,( D. ),2(]1,(
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上.)
13.已知向量 a
,b
夹角为 45°,且| a
|=1,|2 a
-b
|= 10,则|b
|=________.
14.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为错误!未找到引用源。,一个内角
为 60 的菱形,俯视图为正方形,的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为
__________.
15.已知 2( )y f x x 是奇函数,且 (1) 1f 。若 ( ) ( ) 2g x f x ,则 ( 1)g ________.
16. 过双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x )0,0( ba 的右顶点 A 作斜率为 1 的直线,该直线与双曲
线 的 两 条 渐 近 线 的 交 点 分 别 为 B , C . 若 BCAB 2 , 则 双 曲 线 的 离 心 率
是 。
三、解答题(本大题共 6 小题,其中 17-21 每题各 12 分,22-23 二选一 10 分,共 70 分)
17.( 12 分)在 中,角 , , 的对边分别为 , , ,且 .
(1)求角 的值;
(2)若 , 边上中线 ,求 的面积.
18. (本大题满分 12 分)
已知正方形 ABCD 的边长为 1, AC BD O .将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使
1AC ,得到三棱锥 A—BCD,如图所示.
(I)求证: AO BCD 平面 ;
(II)求二面角 A BC D 的余弦值.
(19)(本小题共 12 分)
“你低碳了吗?”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.
活动组织者为了解这则广告的宣传效果,随机抽取了100名年龄段在[10,20),[20,30),
,[50,60) 的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数;
(Ⅱ)从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8 人,求[50,60) 年龄段抽
取的人数;
(Ⅲ)从按(Ⅱ)中方式得到的8 人中再抽取 3 人作为本次活动的获奖者,记 X 为年龄在
[50,60) 年龄段的人数,求 X 的分布列及数学期望.
20.( 12 分)设 F1、F2 分别是椭圆 14
2
2
yx 的左、右焦点。
(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 21 PFPF 的最大值和最小值;
(2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角(其中
O 为坐标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围。
21.( 12 分)设函数 )0(ln)( 2 xbxxaxf 。
(1)若函数 )(xf 在 x=1 处的切线为
2
1y 。
①求实数 a,b 的值;②求函数 ],1[)( eexf 在 上的最大值。
0.020
0.025
10 20 30 40 50 60
0.015
0.005
频率
组距
(2)当 b=0 时,若不等式 xmxf )( 对所有的 a [0,
2
3 ], x (1, 2e ]都成立,
求实数 m 的取值范围。
请考生在 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔
在答题纸卡上把所选的题目对应的标号涂黑。
22.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程.
已知直线 1 :
3
x t
l
y t
(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标
系,圆 1C : 2 2 3 cos 4 sin 6 0 .
(1)求圆 1C 的直角坐标方程,直线 1l 的极坐标方程;
(2)设 1l 与 1C 的交点为 ,M N ,求 1C MN 的面积.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知 ( ) | 1| ( )f x ax a R ,不等式 3)( xf 的解集为 }12{ xx 。
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 kxfxf )2(2)( 恒成立,求 k 的取值范围。
高三第一次测试答案
一、1. D 2. A 3. C 4. A 5. B 6. C 7. C 8.B 9. C 10. B 11. D
12. C
二、13. 3 2 14. 4 15. -1 16. 5
三、
17.(1) ,
(2) , ,
可知 为等腰三角形.
在 中,由余弦定理,
得 ,
即 ,
解得 .
的面积 . (12 分)
18.(I)证明:在 AOC 中, 1AC , 2
2AO CO ,
2 2 2AC AO CO , AO CO .
又 AC BD、 是 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 , AO BD , 又
BD CO O AO BCD 平面 .
(II)由(II)知 AO BCD 平面 ,则 OC,OA,OD 两两互相垂直,如图,以 O 为原点,建
立 空 间 直 角 坐 标 系 O xyz . 则
2 2 2 2(0,0,0), (0,0, ), ( ,0,0), (0, ,0), (0, ,0)2 2 2 2O A C B D ,
2(0,0, )2OA 是平面 BCD的一个法向量. 2 2( ,0, )2 2AC , 2 2( , ,0)2 2BC ,
设平面 ABC 的法向量 ( , , )x y z
n ,则 0BC
n , 0AC
n .
即
2 2( , , ) ( , ,0) 02 2
2 2( , , ) ( ,0, ) 02 2
x y z
x y z
,
所以 ,y x 且 ,z x 令 1,x 则 1y , 1z ,解得 (1, 1,1)
n .
从而 3cos , 3| || |
OAOA
OA
nn
n
,二面角 A BC D 的余弦值为 3
3
.
19.解:(Ⅰ)1 10 (0.020 0.025 0.015 0.005) 0.35 ,
100 0.35 35 , 即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35.
(Ⅱ)100 0.15 15 ,100 0.05 5 ,
所以 85 220
,即抽取的8 人中[50,60) 年龄段抽取的人数为 2 .
(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0 ,1, 2 .
3
6
3
8
5( 0) 14
CP X C
;
1 2
2 6
3
8
15( 1) 28
C CP X C
;
2 1
2 6
3
8
3( 2) 28
C CP X C
.
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
P 5
14
15
28
3
28
X 的数学期望为 5 15 3 30 1 214 28 28 4EX .
20.(1)易知 2a , 1b , 3c
所以 )0 3(F1 , , )0 3(F2 , ,设P )( yx, ,则
)3()3(PFPF 21 yxyx ,,
)83(4
13413 2
2
222 xxxyx
因为 ]2 2[ ,x ,
故当 0x ,即点P为椭圆短轴端点时, 21 PFPF 有最小值-2;
当 2x ,即点P为椭圆长轴端点时, 21 PFPF 有最大值1。
(2)显然直线 0x 不满足题设条件。
可设直线 l : 2 kxy ,A( 11 yx , ),B( 22 yx , )
联立
14
2
2
2
yx
kxy
,消去 y ,整理得: 034)4
1( 22 kxxk
∴
4
1
3,
4
1
4
221221
k
xx
k
xx k ,
由 0343)4
1(4)4( 222 kkk 得:
2
3k 或
2
3k ①
又 0OBOA0AOBcos90AOB0
∴ 0OBOA 2121 yyxx
又 4)(2)2)(2( 2121
2
2121 xxkxxkkxkxyy
4
1
14
4
1
8
4
1
3
2
2
2
2
2
2
k
k
k
k
k
k
∵ 0
4
1
1
4
1
3
2
2
2
k
k
k
,即 42 k ,∴ 22 k ②
故由①②得
2
32 k 或 22
3 k 。
21.解:(1)① '( ) 2af x bxx
∵函数 ( )f x 在 1x 处与直线 1
2y 相切 '(1) 2 0
,1(1) 2
f a b
f b
解得
1
1
2
a
b
………3 分
②
2
21 1 1( ) ln , '( )2
xf x x x f x xx x
当 1 x ee
时,令 '( ) 0f x 得 11 xe
;...........5分
令 '( ) 0f x ,得 ex 1
1,1)( exf 在 上单调递增,在[1,e]上单调递减,
max
1( ) (1) 2f x f 。。。。。。。。7 分
(2)当 b=0 时, ( ) lnf x a x 若不等式 ( )f x m x 对所有的 230, , 1,2a x e
都
成立,则 lna x m x 对所有的 230, , 1,2a x e
都成立,
即 ,ln xxam 对所有的 2,1],2
3,0[ exa 都成立,。。。.........8 分
令 )(,ln)( ahxxaah 则 为一次函数, min( )m h a 。 21, , ln 0,x e x
3( ) [0, ]2h a a 在 上单调递增, min( ) (0)h a h x ,
m x 对所有的 21,x e 都成立。。。。。。.........11 分
2 21 , 1,x e e x 2
min( )m x e 。。.。。。。。。12 分
(注:也可令 ( ) ln , ( )h x a x x m h x 则 所有的 21,x e 都成立,分类讨论得
2
min( ) 2m h x a e 对所有的 3[0, ]2a 都成立, 2 2
min(2 )m a e e
22.解:(1)因为 cos
sin
x
y
,将其代入 1C 得: 0643222 yxyx ,
∴圆 1C 的直角坐标方程为: 2 2
1 :( 3) ( 2) 1C x y .3 分
1l 消参得 tan 3 3
( R )
∴直线 1l 的极坐标方程为:
3
( R ).5 分
(2)
2
3
2 3 cos 4 sin 6 0
06332 1 2 3 ,
∴
1
1 1 332 2 4C MNS .10 分