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- 2021-04-14 发布
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专题20 三角形中的不等和最值问题
新课标下高考数学题中以三角形中的不等和最值问题为载体，不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域；纵观近几年高考对三角形的考查，三角形中的不等和最值问题已成为高考命题的一个热点.重点放在正余弦定理与三角函数性质、基本不等式和向量知识的结合上；要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识综合性大，涉及知识面广，学生解决感觉较困难，分析原因，除了这类题目本身有一定难度，主要是学生的三角恒等变形能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.
1 三角形中利用边角关系求范围
三角形中的不等关系主要有：1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2.任一角都大于00而小于1800,任意两角之和也是大于00而小于1800;3.设角A是一三角形的内角,则;4.在锐角三角形中, 任意两角之和也是大于900而小于1800;5.在同一三角形中大边对大角,大角对大边等等.运用好这些不等关系,是解决与三角形有关问题的关键.
例、钝角三角形的三边为， ， ，其最大角不超过，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
例．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围( )
A．(8,10) B.(2，)
C．(2，10) D．(，8)
例．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为( )
A．45° B.60°
C．75° D．90°
2三角形中利用辅助角公式求范围
例、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.
(1)求角A的值； (2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．
3、三角形中利用基本不等式求范围
例、△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是________．
例、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin＝，且a＋c＝2，则△ABC周长的取值范围是( )
A．(2,3] B．[3,4) C．(4,5] D．[5,6)
4三角形中利用辅助角公式求最值
例、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sinA＋sinB的最大值．
例、【四川省绵阳市2020届高三诊断】△ABC的内角A．B．C的对边分别为a，b，c，
己知＝b(c－asinC).
(1)求角A的大小；
(2)设b=c，N是△ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，
如图，若BN=4，CN=2，求四边形ABNC面积的最大值．
5、三角形中利用基本不等式求最值
对于三角形中的最值,很多时间同时也考查基本不等式,不仅要注意正余弦定理的应用,三角恒等变形,同时还要注意构造使用基本不等式的条件,以便使用基本不等式解决问题.
例． 在内角的对边分别为，已知．
(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，求△面积的最大值．
例、已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为1＋，则AC边的长的最小值是________．
例、已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
例、【江苏省清江中学2020届高三第二次调研】在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.
6、三角形中利用二次函数求最值
对于三角形中的最值,不仅可能用到基本不等式来求解,很多时候也要用到三角函数的性质,或是求函数的最值的方法:如单调性法,导数法,图象法等等.
例、【新疆维吾尔自治区普通高中学业水平】甲船在A处.乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲.乙两船相距最近？
例、设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.
(1)证明：；(2)求的取值范围.
7、三角形与平面向量相结合的最值问题
以向量为载体来描述三角形中的条件，然后解三角形，是近年来是常见高考题型，这种题目不仅要求学生熟悉应用正余弦理解三角形，同时还要求学生有不错的向量知识才能读懂题目，从而顺利作答．
例、已知向量a,b满足，则的最小值是___________，最大值是______。
例、【重庆市西南大学附属中学校2020届高三月考】在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求角；(2)若，求的最小值．
8、三角形与抛物线相结合的最值问题
例、【河南省郑州市2020届高三月考】抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为
A． B．1 C． D．2
【反思提升】综合上面的几种种类型，解决三解形中的不等与最值问题，涉及到三角函数知识和较多的数学思想、方法；解三角形主要知识是正、余弦定理，同时三角恒等变形能力以及计算能力和按照目的进行分析问题、解决问题的能力要求也是比较高的；不等关系和最值处理的常用方法：利用三角形中的有关结论转化为基本不等式来解决或是转化为函数的最值来加以解决.
