2018-2019学年河北省邯郸大名一中高二5月月考（清北组）数学（文）试题（解析版） 17页

河北省邯郸大名一中2018-2019学年高二5月月考（清北组）数学（文）试题 范围：选填：集合与逻辑、函数、导数、三角函数，大题：高考全内容 一、单选题（每题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合，，则等于（ ）‎ A． B．{0} C．[0,1] D．{0,1}‎ ‎2．命题“对任意的，都有”的否定为（ ）‎ A．存在，使 B．对任意的，都有 C．存在,使 D．存在,使 ‎3．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4．已知函数，则（ ） ‎ A． B． C． D．4‎ ‎5．下列函数中为偶函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知，则的大小关系为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．要得到函数y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3sinx的图象上的所有的点（ ）‎ A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）‎ B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）‎ C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），向右平移个单位长度 ‎9．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知是定义域为的奇函数, 当时, ，那么不等式的解集是 A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数的定义域是，是的导数，，对，有 是自然对数的底数）．不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．设曲线在点处的切线与直线垂直，则 __________．‎ ‎14．设函数向左平移单位后得到的函数是一个偶函数，则__________．‎ ‎15．已知函数，则函数的递增区间是 ．‎ ‎16．已知函数的图象为，则下列说法：‎ ‎①图象关于点对称； ②图象关于直线对称；‎ ‎③函数在区间内是增函数；‎ ‎④由的图象向左平移个单位长度可以得到图象．其中正确的说法的序号为 .‎ 三、解答题 17．（12分）在中，角所对的边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；（2）若的面积，求边长的最小值.‎ ‎18．（12分）为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从网年龄在15~65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：‎ ‎（I）由频率分布直方图估计年龄的众数和平均数；‎ ‎（II）由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；‎ 参考数据：‎ ‎（III）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人.求抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上的概率.‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥底面是矩形， 平面， ， ， 是的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左焦点F为圆的圆心,且椭圆上的点到点F的距离最小值为.‎ ‎(I)求椭圆方程;‎ ‎(II)已知经过点F的动直线与椭圆交于不同的两点A、B,点M(),证明:为定值.‎ ‎21．（12分）已知函数，其中且，为自然常数.‎ ‎（1）讨论的单调性和极值；‎ ‎（2）当时，求使不等式恒成立的实数的取值范围.‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与曲线分别交于两点.‎ ‎（1）若点的极坐标为，求的值； ‎ ‎（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.‎ 参考答案 ‎1．D ‎【解析】‎ 试题分析： , . ‎ 考点：集合的交集运算.‎ ‎2．C ‎【解析】‎ 本题考查特称命题和全称命题.‎ 命题“对任意的，都有”是全称命题，全称命题的否定是特称命题；条件：对任意的的否定是存在；结论：都有的否定是：‎ ‎；故选C ‎3．B ‎【解析】‎ 试题分析：当时，不一定有意义；当时，解得，因此“”是“”的 必要而不充分条件．‎ 考点：充分条件和必要条件的应用．‎ ‎4．C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，故选C．‎ 考点：分段函数．‎ ‎5．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一判断选项中所给函数的奇偶性，即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，函数，是偶函数，符合题意；‎ ‎，函数是奇函数，不合题意；‎ ‎，函数是非奇非偶函数，不合题意；‎ ‎，函数是非奇非偶函数，不合题意，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.‎ ‎6．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对等式两边同时平方，结合三角恒等式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，平方可得，‎ 所以，即，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数式的计算，两边同时平方是解题的关键，属于基础题.‎ ‎7．B ‎【解析】‎ 试题分析：，因为在R上单调递增，所以，所以，因为，即，所以，故B正确。‎ 考点：指数函数对数函数 ‎8．A ‎【解析】‎ 将y=3sinx的图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到y=3sin（x+‎ ‎）的图象，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到y=3sin（2x+）的图象；或将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到y=3sin2x的图象，再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到y=3sin（2（x+））的图象．故选A．‎ ‎9．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以将“函数在上存在零点”转化为“函数与函数在上有交点”，然后画出函数图像，根据函数图像即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 函数在上存在零点，‎ 即在上有解，‎ 令函数，，‎ 在上有解即函数与函数在上有交点，‎ 函数的图像就是函数的图像向左平移个单位，‎ 如图所示，函数向左平移时，‎ 当函数图像过点之后，与函数没有交点，‎ 此时，，故的取值范围为，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数与指数函数的相关性质，考查对数函数与指数函数图像的画法，考查函数图像平移的相关性质，考查数形结合思想，考查推理能力，体现了综合性，是难题。‎ ‎10 C ‎【解析】，故选C．‎ 点睛：在应用诱导公式求三角函数值时，除了要掌握应用诱导公式的原则：“负化正”、“大化小”、“小化锐”外，还需善于观察，寻找角的关系，如， ， ，这样可以沟通已知角与待求值角之间的关系．‎ ‎11．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知利用f（x）在上单调递减，不等式等价于，解不等式组即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 当时, ，可得f（x）在上为减函数，‎ 又是奇函数,所以f(x)在上单调递减，‎ ‎∴ 等价于 ‎∴解得．‎ ‎∴故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎12．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，对函数进行求导，令，求出 的最小值为，进而可得恒成立，得到的单调性，结合可得结果.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，∴，‎ 令，∴，‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增；‎ ‎∴，‎ 又∵，∴在上恒成立，‎ 即函数在上单调递增，‎ 又∵，即，‎ 不等式，即不等式 的解集为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，属于中档题．‎ ‎13．1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点(1,a)处的切线斜率，根据两条直线垂直斜率乘积为-1即可得a值.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以切线的斜率，‎ 又切线与直线垂直 得，解得.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.‎ ‎14．‎ ‎【解析】由题意得是一个偶函数，因此 ,因为 ,所以 ‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：复合函数的单调性“同增异减”，函数的定义域为，令，则，因为为增函数，因此要求的是的增区间，而函数的增区间为，与定义域取交集得递增区间为．（易错点：忽略定义域）‎ 考点：复合函数的单调性 ‎16．②③‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，故图象不关于点对称，命题①错误；，函数取到最小值，故图象关于直线对称，命题②正确；当，，故函数在区间内是增函数，命题③正确；将函数图象向左平移个单位长度得到函数 的图象，而不是曲线，故命题④错误.综上所述，正确的命题序号是②③.‎ 考点：1.三角函数的对称性；2.三角函数的单调性；3.三角函数图象变换 ‎17．（1）A= (2)2 ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据，由正弦定理与两角和的正弦公式公式可得，从而可得结果；（2）先由面积面积可得，再利用余弦定理和基本不等式可得结果.‎ 试题解析：（1）（2c-b）cosA=acosB,即（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB,2sinCcosA=sinC, 又sinC0,‎ cosA=, A，A=‎ ‎(2) 面积=bcsinA=,bc=8,‎ 又a2= b2+c2-2bccosA= b2+c2-bc =bc=8,‎ a的最小值为2 ‎ ‎18．（Ⅰ）众数为50，平均数为42，（Ⅱ）有95%的把握 (Ⅲ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图知，最高矩形的中点代表的是众数，矩形中点乘以矩形面积求和可得平均数；‎ ‎（Ⅱ）由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； (Ⅲ) 设45岁以下的6人为a1，a2， a3，a4， a5，a6，45岁以上的2人为b1，b2，将所有的基本事件列举出来，数出满足条件的基本事件，利用古典概型计算公式求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：(I) 估计众数为50. ‎ 估计平均数为＝20×0.2＋30×0.1＋40×0.2＋50×0.3＋60×0.2＝42. ‎ ‎(II)列联表如下：‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 ‎35‎ ‎45‎ ‎80‎ 不支持 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 因为K2＝＝＝6.25＞3.841，‎ 所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异． ‎ ‎(III)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．‎ 设45岁以下的6人为a1，a2， a3，a4， a5，a6，45岁以上的2人为b1，b2，则从这8人中随机抽2人包含以下基本事件(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)， (a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，a6)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，a6)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a6，b1)，(a6，b2)，( (b1，b2)共28个基本事件．记抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上为事件M，则事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a6，b1)，(a6，b2)，共12个基本事件．故. ‎ 即抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图的众数和平均数的计算，同时考查了独立性检验的应用，还考查了古典概型的计算，属于中档题.‎ ‎19．(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析： （1）由平面平面 ，又，而 ‎ ‎∴平面平面平面平面；（2）连结，在三棱锥 中，‎ ‎，在中，‎ ‎ ，‎ 又，则由 ．‎ 试题解析：（1）∵平面平面，‎ ‎∴，∵是矩形，∴，而，‎ ‎∴平面平面，∴平面平面．‎ ‎（2）连结，在三棱锥中， ，‎ 在中， ，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ 点到底面的距离，（ 为的中点），‎ 则由，即，‎ ‎，求得，‎ 所以点到平面的距离是．‎ 考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、点到面的距离.‎ ‎20．（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)左焦点为，可列方程，椭圆上的点到点的距离最小值为，由椭圆的准线的性质可知左顶点到的距离为，可列方程，解方程求 便可得到椭圆的标准方程；（2）假设直线的斜率存在，有前面的求解可假设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，可求得点的坐标（表示），在求的坐标，最后求并进行化简，可证明其值为定值，对于直线斜率不存在，可直接求得的坐标，求即可.‎ 试题解析：（1）因为圆的圆心为，半径为，所以椭圆的半焦距，‎ 又椭圆上的点到点的距离最小值为，所以，即．‎ 所以，所求椭圆的方程为．‎ ‎（2）①当直线与轴垂直时，的方程为，‎ 可求得，‎ 此时，．‎ ‎②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 由得．‎ 设，则．‎ 所以，为定值，且定值为 考点：椭圆的焦点及其标准方程，向量的运算.‎ ‎【思路点睛】本题考查了椭圆的相关性质即向量的运算，首先要清楚焦距（焦点）的概念及其计算公式，其次要熟悉椭圆的准线的性质，即椭圆上的点到焦点的距离等于该点到相应准线距离的倍，由此可知椭圆上到焦点距离最短的点分别为长轴上的两个顶点；对于为定值的证明，要能够结合已知条件正确假设直线方程，其次要注意斜率不存在的情形.证明过程中，要冲利用两根和与积的关系进行化简.‎ ‎21．（1）当时，，在上单调递减，在上单调递增，有极小值；当时，，，所以在上单调递增，无极值；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）‎ 求导，利用讨论导数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求其最值．‎ 试题解析：（1）因为，‎ 所以当时，的定义域为；‎ 当，的定义域为.‎ 又，，‎ 故当时，，在上单调递减，在上单调递增，‎ 有极小值；‎ 当时，，，所以在上单调递增，无极值.‎ ‎（2）解法一：‎ 当时，，由（1）知当且仅当时，，‎ 因为，所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 当且仅当时，.‎ 当时，由于，所以恒成立；‎ 当时，，‎ 要使不等式恒成立，只需，‎ 即.‎ 综上得所求实数的取值范围为.‎ 解法二：‎ 当时，所以，‎ 故 令，则.‎ 由（1）可知，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以.‎ 故当时，不等式恒成立.‎ 考点：1.导数在研究函数中的应用；2.导数在研究不等式恒成立问题中的应用．‎ ‎【方法点睛】本题考查导数在研究函数单调性和最值中的应用以及导数在研究不等式恒成立中的应用，综合性较强，属于难题；利用导数处理不等式恒成立问题，往往优先考虑分离参数，利用恒成立转化为求函数的最值问题，再利用导数求最值，要求学生有较高的逻辑思维能力和较强的运算化简能力.‎ ‎22．（1）4；（2）16.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，将曲线C的极坐标方程变形为标准方程，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，可得，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；‎ ‎（2）写出曲线C的参数方程，分析可得以P为顶点的内接矩形周长l，由正弦函数的性质分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得到+3=12,‎ 所以曲线C的直角坐标方程为+3=12，的极坐标为，化为直角坐标为（-2，0）‎ 由直线l的参数方程为：（t为参数），‎ 知直线l是过点P（-2，0），且倾斜角为的直线，‎ 把直线的参数方程代入曲线C得，．‎ 所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝4．‎ ‎（2）由曲线C的方程为 ，‎ 不妨设曲线C上的动点，‎ 则以P为顶点的内接矩形周长l，‎ 又由sin（θ）≤1，则l≤16；‎ 因此该内接矩形周长的最大值为16．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的极坐标方程与普通方程的互化，考查了直线的参数方程的意义及椭圆参数方程的应用，涉及三角函数的最值问题，属于中档题．‎