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- 2021-06-26 发布
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衡阳八中2016年下期高三年级第五次月考试卷
理数（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第五次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷 选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合A⊆{0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2.已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cos B=（ ）
A． B． C． D．
4.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
5.当 ，时，的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
6.如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为（ ）
A． B． C． D．
7.过点A（﹣2，﹣4）作倾斜角为45°的直线交抛物线y2=2px（p＞0）于点P1、P2，若|P1P2|2=|AP1|•|AP2|，则实数p的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
9.已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N）．我们把使乘积a1•a2•a3•…•an为整数的数n叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（ ）
A．1024 B．2003 C．2026 D．2048
10.右图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A﹣B﹣C﹣M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（ ）
A．B．C．D．
11.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）
A．，B．， C．， D．，
12.如果定义在上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”．给出下列函数：
①；②；③；④，其中“函数”的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
第II卷 非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.（x2+x+2）5的展开式中，x7的系数为 ．
14.已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为 ．
15.已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么（x+1）2+y2的取值范围为 ．
16.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的表面积是 ．
三.解答题（共6题，共70分）
17.（本题满分12分）
数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N），等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．
（1）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设Cn=（n∈N），求证Cn+1＜Cn．
18.（本题满分12分）
如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．
（1）求证：BC⊥平面EFGH；
（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．
19.（本题满分12分）
某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将
成绩按如下方式分为六组，第一组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.
（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；
（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为.若，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率；
（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数的分布列及期望.
20.（本题满分12分）
设函数.
（1）若关于的不等式在为自然对数的底数） 上有实数解, 求实数的取值范围；
（2）设,若关于的方程至少有一个解, 求的 最小值；
（3） 证明不等式：.
21.（本题满分12分）
在空中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ．在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．
（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；
（Ⅱ）在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M、N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．
选做题（从22、23题中任选一题作答，共10分）
22.（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．
（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．
23.（选修4-5：不等式选讲）
设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
衡阳八中2016年下期高三实验班第五次月考理数参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
B
B
D
B
A
C
C
A
A
A
13.50
14.
15.（，8]
16.16π
17.
（1）①当n≥2时，由an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，得an+1﹣an=2an，即an+1=3an．
由a1=1，∴a2=2a1+1=3=3a1．
∵a1=1≠0，∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴．（3分）
②等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．设公差为d，则，解得．
∴bn=﹣3+（n﹣1）×3=3n﹣6．（6分）
（2）由（1）可得=．
∴=cn．（9分）
∵3n=（1+2）n=…+2n≥3n，
∴．（12分）
18.
（1）∵AB∥平面EFGH，
又∵AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，
∴AB∥EF，同理CD∥HE，
∵，
∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，
同理BC⊥DC，
∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，
又∵EF，EH是平面EFGH内的两相交直线，
∴BC⊥平面EFGH．（5分）
（2）由（1）及异面直线AB，CD互相垂直知，直线AB，BC，CD两两垂直，
作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示，
则，（7分）
∵x轴⊂平面ACD，∴平面ACD的一个法向量可设为，
∵，∴
，得：，即，（8分）
又∵z轴∥平面ABD，∴平面ABD的一个法向量可设为，
∴，得，即，（9分）
设二面角B﹣AD﹣C的大小为θ，
那么，
∴，（11分）
∴二面角B﹣AD﹣C的正弦值为．（12分）
19.（1）频率分布直方图见解析，；（2）；（ 3）分布列见解析，.
.（4分）
（6分）
（9分）
故的分布列如下
0
1
2
3
依题意，故.（12分）
20.（1）（-∞，e2-2];（4分）（2）0；（8分）（3）略.（12分）
21.
（Ⅰ）如右图，O'为双曲线的中心，OO'为轴l与平面α的距离|OO'|=2，
A为双曲线的顶点，∠AOO'=60°，∴．…（1分）
在轴l上取点C，使得|OC|=4，过C作与轴l垂直的平面，
交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D、E，DE的中点为B，
由题意知，|CB|=2，|CD|=4，得|BD|=2，
从而双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4）．…（4分）
设双曲线的标准方程为，将点（2，4）代入方程得b2=4，
所以双曲线的标准方程为…（5分）
证明：（Ⅱ）在条件（Ⅰ）下，双曲线Γ的两切线PM、PN都不垂直x轴，…（6分）
设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为y=k（x﹣x0）+y0，
：…（8分）
由△=0，化简得：…（9分）
令PM、PN的斜率分别为k1、k2，，…（10分）
因点P（x0，y0）在圆Γ'上，则有，得：，∴k1k2=﹣1，…（11分）
知PM⊥PN，线段MN是圆O的直径，|MN|=4．…（12分）
22.
（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4x，配方为（x﹣2）2+y2=4，
设Q（x，y），则，
代入圆的方程可得，
化为（x﹣4）2+y2=16．即为点Q的直角坐标方程．（5分）
（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入（x﹣4）2+y2=16．
得
令A，B对应参数分别为t1，t2，则，t1t2＞0．
∴．（10分）
23.
（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，
得x＞﹣5，所以x≥4成立；
当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，
得x＞1，所以1＜x＜4成立；
当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．
综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（5分）
（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|
≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，
当﹣时等号成立．
即有F（x）的最小值为9，
所以m≤9．
即m的取值范围为（﹣∞，9]．（10分）
