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- 2021-06-26 发布
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01 质数那些事
阅读与思考
一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：
关于质数、合数有下列重要性质：
1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．
2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．
3．若质数|，则必有|或|．
4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：
N= ，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，…，)．
正整数N的正约数的个数为(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正约数的和为(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．
例题与求解
【例1】已知三个质数，，满足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，，的值．
【例2】若为质数，＋5仍为质数，则＋7为( )
A．质数 B．可为质数，也可为合数
10
C．合数 D．既不是质数，也不是合数
(湖北省黄冈市竞赛试题)
解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．
【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．
(上海市竞赛试题)
解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．
【例4】⑴ 将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数．
⑵ 若是大于2的正整数，求证：－1与＋1中至多有一个质数．
⑶ 求360的所有正约数的倒数和．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明－1与＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．
10
【例5】设和是正整数，≠，是奇质数，并且，求＋的值．
解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设．由质数的定义得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1为质数即可得出结论．
【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．
(青少年国际城市邀请赛试题)
解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．
能力训练
A级
1．若，，，为整数，=1997，则=________．
2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，
10
个偶数，则(－)＋(－)=__________．
3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为__________．
(“希望杯”邀请赛试题)
4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为____________．
(北京市竞赛试题)
5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( )
A．4 B．8 C．12 D．0
6． 在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
(“希望杯”邀请赛试题)
7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有( )
A．1个 B．3 个 C．5个 D．6 个
(“希望杯”邀请赛试题)
8．设，，都是质数，并且＋=，<．求．
9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．
(上海市竞赛试题)
10
10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．
(五城市联赛试题)
11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，，都是正整数，且(，)=1，试问这块地有多少平方米？
(湖北省荆州市竞赛试题)
B级
1．若质数，满足5＋7=129，则＋的值为__________．
2．已知，均为质数，并且存在两个正整数，，使得=＋，=×，则的值为__________．
3．自然数，，，，都大于1，其乘积=2 000，则其和＋＋＋＋的最大值为__________，最小值为____________．
10
(“五羊杯”竞赛试题)
4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
5．若，均为质数，且满足＋=2 089，则49－=_________．
A．0 B．2 007 C．2 008 D．2 010
(“五羊杯”竞赛试题)
6．设为质数，并且7＋8和8＋7也都为质数，记=77＋8，=88＋7，则在以下情形中，必定成立的是( )
A．，都是质数 B．，都是合数
C．，一个是质数，一个是合数 D．对不同的，以上皆可能出现
(江西省竞赛试题)
7．设，，，是自然数，并且，求证：＋＋＋一定是合数．
(北京市竞赛试题)
8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：
⑴ 6个数中任意两个都互质；
⑵ 6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．
10
9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．
(湖北省荆州市竞赛试题)
10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：
(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．
01 质数那些事
例1 34
例2 C
例3 3符合要求 提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．
例4 （1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．
10
（2）因n是大于2的正整数，则－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故－1与＋1中至多有一个数是质数．
（3）设正整数a的所有正约数之和为b，，，，…，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a．由于中各分数分母的最小公倍数=a，故S===，而a=360=，故b=（1＋2＋＋）×（1＋3＋）×（1＋5）=1170．==．
例5 由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x==，∴x＋y=＋=。
例6 设N是一个同时含有数字1，3，7，9的绝对质数．因为=7931，=1793，=9137，=7913，=7193，=1937，=7139除以7所得余数分别为0，1，2，3，4，5，6．故如下7个正整数：
=L，
=L，
…
=L，
其中，一定有一个能被7整除，则这个数就不是质数，故矛盾．
10
A级
1．1998 2．－1 3．63 4．2000 5．D 6．A 7．B
8．由r=p＋q可知r不是最小的质数，则为奇数，故p，q为一奇一偶，又因为p＜q．故p既是质数又是偶数，则p=2．
9．设十个连续合数为k＋2，k＋3，k＋4，…，k＋10，k＋11，这里k为自然数，则只要取k是2，3，4，…，11的倍数即可．
10．选甲．提示：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（2，3），（4，5），（6，7），…，（1992，1993），1994，甲擦掉1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数．
11．设这块地面积为S，则S==（n＋124）．
∴=124 ∵x＞y （x，y）=1
∴（，）=1 （，）=1 得｜124
∵124=×31，=（x＋y）（x－y）
∴，或
∴，或（舍）
此时n==900．
∴S==900×=230400cm=23．04m。
B级
1．19或25
2． 提示：q=mn，则m、n只能一个为1，另一个为q．
3．133 23 4．2001
5．B 提示：唯有a=2，b=2089－=2089－2048=41是质数，符合题意．
10
6．A 提示：当a=3时，符合题意；当a≠3时，被3处余1，设=3n＋1，则7＋8=21n＋15，8＋7=24n＋15，它们都不是质数，与条件矛盾．故a=3．
7．－a，－b，－c，－d都是偶数，即M=－（a＋b＋c＋d）是偶数．因为=，所以=2（）是偶数，从而有a＋b＋c＋d=－M=2（）－M，它 一定是偶数，但a＋b＋c＋d＞2，于是a＋b＋c＋d是个合数．
8．取六个数ai＝i×(1×2×3×4×5×6)＋1 (i＝1，2，…，6)，则其中任意两个数都是互质的，事实上，假设a2与a5不互质，设d是a2与a5的最大公约数，则d必是(5－2)×1×2×3×4×5×6，即3×1×2×3×4×5×6的一个因子，但从a2＝2×1×2×3×4×5×6＋1知，d不整除a2，这与假设d是a2与a5的最大公约数矛盾，故a2与a5互质．
9．由pq＋11＞11且pq＋11是质数知，pq＋11必为正奇数，从而p＝2或q＝2．
(1)若p＝2，此时7p＋q及2q＋11均为质数．设q＝3k＋1，则q＋14＝3(k＋5)不是质数；设q＝3k＋2，则2q＋11＝3(2k＋5)不是质数，因此q应为3k型的质数，当然只能是q＝3．
(2)若q＝2，此时7p＋q与2p＋11均为质数，设p＝3k＋1，则7p＋2＝3(7k＋3)不是质数；设p＝3k＋2，则2p＋11＝3(2k＋5)不是质数，因此，p应为3k型的质数，p＝3． 综合(1)，(2)知p＝3，q＝2 或p＝2，q＝3，所以pq十qp ＝17．
10．(1)能办到 提示：注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列：不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，…，41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得1，40，3，38，5，36，7，34，…，8，35，6，37，4，39，2，41.这样任何相邻两数之和都是41或43.满足题目要求．
(2)不能办到 提示：若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶．但现有20个偶数，21个奇数，总共是41个号码，由此引出矛盾，故不能办到，
10
