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- 2021-06-23 发布
2017-2018 学年遵化一中高三第二次综合训练
数学文试题 命题人：
说明：本试题共 5 页，共 23 题。满分为 150 分，考试时间为 120 分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意要求的。
1. 设全集U R ，集合 2{ | 0}, { | 2 0}A x x B x x x .则 ( )UA B ð （ ）
A． (0,2] B． ( 1,2] C．[ 1,2] D． [2, )
2．若复数 2
1
iz i
，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部是( )
A． 3
2 B． 1
2
C． 3
2
i D． 1
2
i
3．“直线 y x b 与圆 2 2 1x y 相交”是“0 1b ”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4.命题“ 30, . 0x x x ”的否定是 （ ）
3 3
3 3
0 0 0 0 0 0
. ,0 . 0 . ,0 . 0
. 0, . 0 . 0, . 0
A x x x B x x x
C x x x D x x x
5．函数 |1|2)( ||log2
xxxf x 的图像大致是（ ）
A B C D
6．已知抛物线 2 2x y 的焦点与椭圆
2 2
12
y x
m
的一个焦点重合，则 m （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 9
4
7．已知函数 sin( )y A x m 的最大值为4 ，最小值为0 ．两个对称轴间最
短距离为
2
，直线
6x 是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（ ）
A． 2sin(2 ) 26y x B． 2sin(2 ) 23y x
C． 2sin(2 )3y x D． 4sin(2 )6y x
8．阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出 i 的值为（ ）
A． 3
B． 4
C． 5
D． 6
9 ． 已 知 三 角 形 PAD 所 在 平 面 与 矩 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 ，
2PA PD AB ， 90APD ，若点 P A B C D、 、 、 、 都在同一球面上，
则此球的表面积等于( )
A.4 3 B. 3 C. 12 D. 20
10．若正实数 yx, 满足 0822 xyyx ，则 yx 2 的最小值为（ ）
A． 3 B． 4 C． 9
2 D． 11
2
11．如图，网格上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则
该几何体的体积为（ ）
A． 8 23
B． 8
3
C．4 2
D．4
12、已知函数 axxxf 3)( 2
,
22)( xxg x 若 0))(( xgf 对任意 ]1,0[x 恒成
立，则实数a 的值范围（注： 69.02ln ）（ ）
A ),[ e B ),2ln[ C ),2[ D
]0,2
1(
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分
13．设 ,x y 满足不等式组
6 0
2 0
0
x y
x y
x
，则 2z x y 的最小值为
14．设 tan 3 ，则
sin( ) cos( )
sin( ) cos( )2 2
. .
15.如图在平行四边形 ABCD 中，已知 8, 5AB AD ， 3 , 2CP PD AP BP ，
则 AB AD 的值是 .
16．函数 ( )y f x 图像上不同两点 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 处的切线的斜率分别是
,M Nk k ，规定 | |( , ) | |
M Nk kK M N MN
(| |MN 为线段 MN 的长度)叫做曲线 ( )y f x
在 点 M 与 点 N 之 间 的 “ 近 似 曲 率 ”. 设 曲 线 1( )f x x
上 不 同 两 点
1 1( , ), ( , )( 0, 1)M a N a a aa a
，且 ( , ) 1m K M N 恒成立，则实数 m 的取值范围
是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 , ,a b c ，
已知 24sin 4sin sin 2 22
A B A B
（1）求角C 的大小；
（2）已知 4b ， ABC 的面积为 6，求边长 c 的值.
18. （本小题满分 12 分）如图， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且
2AB BC BD ， 0120ABC DBC ，E、F、G 分别为 AC、DC、AD 的
中点.
（Ⅰ）求证： EF 平面 BCG；
（Ⅱ）求三棱锥 D-BCG 的体积.
19．（本小题满分 12 分）
随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微
信交流”的态度进行调查，随机抽取了 50 人，他们年龄的频数分布及对“使用微
信交流”赞成人数如下表.
年龄（单位：岁） [15,25） [25,35） [35,45） [45,55） [55,65） [65,75）
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 5 10 12 7 2 1
（Ⅰ）若以“年龄 45 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面 22 列联表，并判
断是否有 99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于 45 岁的
人数
年龄低于 45 岁的人
数
合
计
赞成
不 赞
成
合计
（Ⅱ）若从年龄在[25,35）和[55,65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取 6
人进行追踪调查，并给予其中 3 人“红包”奖励，求 3 人中至少有 1 人年龄在[55,65）
的概率.
参考数据如下：
附临界值表：
2P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2K 的观测值：
2n ad bck a b c d a c b d
（其中 n a b c d ）
20．（本小题满分 12 分）
已知动圆 P 与圆 2 2
1 : ( 3) 81F x y 相切，且与圆 2 2
2 : ( 3) 1F x y 相内切，
记圆心 P 的轨迹为曲线C , 设Q 为曲线C 上的一个不在 x 轴上的动点，O 为坐标
原点，过点 2F 作OQ 的平行线交曲线C 于 ,M N 两个不同的点．
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）试探究| |MN 和 2| |OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，
若不能，请说明理由；
21．（本小题满分 12 分）
已 知 函 数 ( ) ln
mxf x x
， 曲 线 ( )y f x 在 点 2 2( , ( ))e f e 处 的 切 线 与 直 线
2 0x y 垂直（其中e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求 ( )f x 的解析式及单调递减区间；
（Ⅱ）若函数
2
( ) ( ) 1
kxg x f x x
无零点，求 k 的取值范围．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分
22. （本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且
两坐标系有相同的长度单位.已知点 N 的极坐标为 ( 2, )4
， M 是曲线 1 : 1C
上任意一点，点G 满足OG OM ON ，设点G 的轨迹为曲线 2C .
（Ⅰ）求曲线 2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若过点 (2,0)P 的直线 l 的参数方程为
12
2
3
2
x t
y t
（ t 为参数），且直线 l
与曲线 2C 交于 ,A B 两点，求 1 1
| | | |PA PB
的值.
23.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 ( ) | | | |, *f x x m x m N ， 存 在 实 数 x 使
( ) 2f x 成立．
（Ⅰ）求正整数m的值；
（Ⅱ）若 1, 1, ( ) ( ) 2f f ，求证： 4 1 9
2 ．
高三数学文强化二答案
DBCCD,DABCB,DC
-6，2，22，m>
18:(2)1/2
19.
（Ⅰ）解：根据条件得 2 2 列联表：
年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计
赞成 10 27 37
不赞成 10 3 13
合 计 20 30 50
……3 分
根据列联表所给的数据代入公式得到：
2
2 50 (10 3 27 10) 9.979 6.63520 30 37 13k …
…5 分
所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关; ……6 分
（Ⅱ）解：
按照分层抽样方法可知：
[55,65）（岁）抽取： 56 210 5
（人）；
[25,35）（岁）抽取： 106 410 5
（人） ……8 分
解：在上述抽取的 6 人中, 年龄在[55,65）（岁）有 2 人，年龄[25,35）（岁）有 4 人。
年龄在[55,65）（岁）记为 ( , )A B ；年龄在[25,35）（岁）记为 ( , , , )a b c d ， 则从 6 人中任
取 3 名的所有情况为: ( , , )A B a 、 ( , , )A B b 、 ( , , )A B c 、 ( , , )A B d 、 ( , , )A a b 、 ( , , )A a c 、
( , , )A a d 、 ( , , )A b c 、 ( , , )A b d 、 ( , , )A c d 、 ( , , )B a b 、 ( , , )B a c 、 ( , , )B a d 、 ( , , )B b c 、
( , , )B b d 、 ( , , )B c d 、 ( , , )a b c ( , , )a b d ( , , )a c d ( , , )b c d 共 20 种情况， ……9 分
其中至少有一人年龄在[55,65）岁情况有： ( , , )A B a 、 ( , , )A B b 、 ( , , )A B c 、 ( , , )A B d 、
( , , )A a b 、 ( , , )A a c 、 ( , , )A a d 、 ( , , )A b c 、 ( , , )A b d 、 ( , , )A c d 、 ( , , )B a b 、 ( , , )B a c 、
( , , )B a d 、 ( , , )B b c 、 ( , , )B b d 、 ( , , )B c d ，共 16 种情况。 ……10 分
记至少有一人年龄在[55,65）岁为事件 A ，则 16 4( ) 20 5P A ……11 分
∴至少有一人年龄在[55,65）岁之间的概率为 4
5
。
20．
（Ⅰ）解：
设圆心 P 的坐标为 ( , )x y ，半径为 R 。由于动圆 P 与圆 2 2
1 : 3 81F x y 相切，且与
圆 2 2
2 : 3 1F x y 相内切，所以动圆 P 与圆 2 2
1 : 3 81F x y 只能内切，所以
。 ……2 分
所以圆心 P 的轨迹为以 1 2,F F 为焦点的椭圆，
其中 2 8a ， 2 6c ，
所以 4a ， 3c ， 2 2 2 7b a c 。 ……4 分
故圆心 P 的轨迹
2 2
: 116 7
x yC 。 ……6 分
（Ⅱ）解：设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ， 3 3( , )Q x y ，直线 :OQ x my ，则直线 : 3MN x my 。
由 2 2
116 7
x my
x y
……7 分
可得：
2
2
2
2
2
112
7 16
112
7 16
mx m
y m
， 所以，
2
2
3 2
2
3 2
112
7 16
112
7 16
mx m
y m
。
2
2 2 2
3 3 2
112( 1)| | 7 16
mOQ x y m
……9 分
由 2 2
3
116 7
x my
x y
可得：
2 2(7 16) 42 49 0m y my ， 所以 1 2 2
42
7 16
my y m
， 1 2 2
49
7 16y y m
。所以
2 2 2
2 1 1 2 1 2| | 1| | 1 ( ) 4MN m y y m y y y y
2
2
56( 1)
7 16
m
m
。
所以。所以| |MN 和 2| |OQ 的比值为一个常数，这个常数为 1
2
。 ……12 分
21.
（Ⅰ）解： ， ……1 分
又由题意有： ，故 . ……3 分
此时， ，由 或 ， ……5 分
所以函数 的单调减区间为 和 . ……6 分
（Ⅱ）解：
，且定义域为 ，
要函数 无零点，即要 在 内无解，
亦即要 在 内无解. ……7 分
构造函数 . ……8 分
①当 时， 在 内恒成立，所以函数 在 内单调递减，
在 内也单调递减. 又 ，所以在 内无零点，
在 内也无零点，故满足条件； ……9 分
②当 时，
⑴若 ，则函数 在 内单调递减，在 内也单调递减，在 内单
调递增. 又 ，所以在 内无零点；易知 ，而 ，
故在 内有一个零点，所以不满足条件； ……10 分
⑵若 ，则函数 在 内单调递减，在 内单调递增. 又 ，所以
时， 恒成立，故无零点，满足条件； ……11 分
⑶若 ，则函数 在 内单调递减，在 内单调递增，在 内也单调递
增. 又 ，所以在 及 内均无零点.
又易知 ，而 ，又易证当 时， ，
所以函数 在 内有一零点，故不满足条件. ……12 分
综上可得： 的取值范围为： 或 .