九年级数学下册第二章二次函数4二次函数y=ax2+bx+c的图象第1课时习题课件北师大版 37页

4 　二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象  第 1 课时 1. 画出形如 y=a(x-h) 2 与 y=a(x-h) 2 +k 的图象 , 并掌握其开口方向、对称轴和顶点坐标 .( 重点 ) 2. 理解 y=a(x-h) 2 ,y=a(x-h) 2 +k 与 y=ax 2 的图象的关系 .( 难点 ) 观察同一坐标系中二次函数 与 的图象 . 【 思考 】 1. 二次函数 与 的图象的形状和位置有什么关系？ 提示： 它们的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同 . 2. 二次函数 可由二次函数 如何平移得 到？ 提示： 向右平移 1 个单位得到 3. 二次函数 可由二次函数 如何平移 得到？ 提示： 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得 到 4. 的对称轴和顶点坐标分别是 什么？ 提示： 的对称轴是 x=1 ，顶点坐标是 (1 ， 0) ； 的对称轴是 x=1 ，顶点坐标是 (1 ， -2). 【 总结 】 1. 二次函数 y=a(x-h) 2 的性质 : 其对称轴是 x= __ , 顶点坐标是 ______ . 2. 二次函数 y=a(x-h) 2 与 y=ax 2 的关系 : 它们 _____ 相同 , 只是 _____ 不同 . 当 h>0 时 , 抛物线 y=ax 2 向 ___ 平 移 h 个单位 , 得到 y=a(x-h) 2 ; 当 h<0 时 , 抛物线 y=ax 2 向 ___ 平移 |h| 个单位 , 得到 y=a(x-h) 2 . h (h,0) 形状 位置 右 左 3. 二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的性质 : 抛物线 y=a(x-h) 2 +k (a>0) y=a(x-h) 2 +k (a<0) 开口方向 向 ___ 向 ___ 对称轴 直线 x= __ 直线 x= __ 顶点坐标 ______ ______ 上 下 h h (h,k) (h,k) 抛物线 y=a(x-h) 2 +k (a>0) y=a(x-h) 2 +k (a<0) 增减性 在对称轴的左侧 ,y 随着 x 的增大而 _____ . 在对称轴的右侧 ,y 随着 x 的增大而 _____ . 在对称轴的左侧 ,y 随着 x 的增大而 _____ . 在对称轴的右侧 ,y 随着 x 的增大而 _____ . 最值 当 x=h 时 ,y 有最 ___ 值为 k 当 x=h 时 ,y 有最 ___ 值为 k 减小 增大 增大 减小 小 大 ( 打 “ √ ” 或 “ × ” ) (1) 二次函数 y=3x 2 与 y=-3(x+1) 2 +2 的图象的开口大小不一 样 .( ) (2) 在二次函数 y=a(x-h) 2 +k 中 ,a 决定抛物线的开口方向和开 口大小 ,k,h 决定抛物线的位置 .( ) (3) 二次函数 y=-2x 2 向右平移 2 个单位得到的抛物线是 y=-2(x +2) 2 .( ) (4) 二次函数 y=(x-3) 2 的最小值是 3.( ) × √ × × 知识点 1 二次函数 y=a(x-h) 2 的图象和性质   【 例 1】 将抛物线 y=ax 2 向右平移 1 个单位后 , 得到的新抛物线 经过点 (3,8), 求 a 的值 . 【 教你解题 】 【 总结提升 】 y=ax 2 左右平移规律的 “ 四字法 ” 左加 :y=ax 2 向左平移 h(h>0) 个单位 ⇒ y=a(x+h) 2 . 右减 :y=ax 2 向右平移 h(h>0) 个单位 ⇒ y=a(x-h) 2 . 知识点 2 二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的图象和性质 【 例 2】 已知：抛物线 (1) 写出抛物线的开口方向、对称轴． (2) 函数 y 有最大值还是最小值？并求出这个最大 ( 小 ) 值． (3) 设抛物线与 y 轴的交点为 P ，与 x 的交点为 Q ，求直线 PQ 的 函数表达式． 【 思路点拨 】 (1) 根据二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的性质 , 写出开口方向与对称轴即可 . (2) 根据 a 是正数确定有最小值 , 再根据函数表达式写出最小值 . (3) 分别求出点 P,Q 的坐标 , 再根据待定系数法求出函数表达式 . 【 自主解答 】 (1) 在抛物线 中， ∴抛物线的开口向上，对称轴为 x=1. (2) ∴ 函数 y 有最小值，最小值为－ 3. (3) 令 x=0 ，得 所以，点 P 的坐标为 令 y=0 ，则 解得 x 1 =-1 ， x 2 =3 ， 所以，点 Q 的坐标为 (-1 ， 0) 或 (3 ， 0) ， 当点 时， 设直线 PQ 的表达式为 y=kx+b ， 则 解得 所以直线 PQ 的表达式为 当 时，设直线 PQ 的表达式为 y=mx+n ， 则 解得 所以，直线 PQ 的表达式为 综上所述，直线 PQ 的表达式为 或 【 总结提升 】 由 y=ax 2 平移到 y=a(x-h) 2 +k 的 “ 八字法 ” 左负 :h<0 ⇔ 向左平移 右正 :h>0 ⇔ 向右平移 上正 :k>0 ⇔ 向上平移 下负 :k<0 ⇔ 向下平移 题组一 : 二次函数 y=a(x-h) 2 的图象和性质 1. 把抛物线 y=3x 2 向右平移 1 个单位长度后 , 所得的函数表达式为 ( 　　 ) A.y=3x 2 -1 B.y=3(x-1) 2 C.y=3x 2 +1 D.y=3(x+1) 2 【 解析 】 选 B. 由抛物线的平移规律可知 , 抛物线 y=3x 2 向右平移 1 个单位后 , 得到的函数表达式为 y=3(x-1) 2 . 2. 抛物线 y=2(x-1) 2 的图象上有三点 , 则 y 1 ,y 2 ,y 3 的大小关系是　 ( 　　 ) A.y 1 >y 2 >y 3 B.y 2 >y 1 >y 3 C.y 3 >y 2 >y 1 D.y 1 >y 3 >y 2 【 解析 】 选 D. 抛物线 y=2(x-1) 2 的对称轴为直线 x=1, 所以 x=-1 时的函数值与 x=3 时的函数值相等 , 又因为抛物线的开口方向 向上 , 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大 , 所以 y 1 >y 3 >y 2 . 3. 将抛物线 y=2(x-3) 2 向左平移 2 个单位后所得到的新抛物线 的表达式为 　　　　　　　 . 【 解析 】 将抛物线 y=2(x-3) 2 向左平移 2 个单位后得到抛物线 y=2(x-3+2) 2 =2(x-1) 2 . 答案 : y=2(x-1) 2 4. 说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标 . (1)y=2(x+3) 2 . 　 (2)y=-2(x+5) 2 . (3)y=3(x-1) 2 . 　 (4)y=-(x-4) 2 . 【 解析 】 由题意可知 , 开口方向、对称轴及顶点坐标分别是 (1) 向上 , 直线 x=-3,(-3,0). (2) 向下 , 直线 x=-5,(-5,0). (3) 向上 , 直线 x=1,(1,0). (4) 向下 , 直线 x=4,(4,0). 5. 已知：抛物线 (1) 写出抛物线的对称轴 . (2) 完成下表： x … -7 -3 1 3 … y … -9 -1 … (3) 在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象 . 【 解析 】 (1) 抛物线的对称轴为直线 x=-1. (2) 表格填写如下 : x … -7 -5 -3 -1 1 3 5 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … (3) 抛物线的图象如下 : 题组二 : 二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的图象和性质 1.(2013 · 枣庄中考 ) 将抛物线 y=3x 2 向上平移 3 个单位 , 再向左平移 2 个单位 , 那么得到的抛物线的表达式为　 ( 　　 ) A.y=3(x+2) 2 +3 B.y=3(x-2) 2 +3 C.y=3(x+2) 2 -3 D.y=3(x-2) 2 -3 【 解析 】 选 A. 由 “ 上加下减 ” 的原则可知 , 将抛物线 y=3x 2 向上平移 3 个单位所得抛物线的表达式为 :y=3x 2 +3; 由 “ 左加右减 ” 的原则可知 , 将抛物线 y=3x 2 +3 向左平移 2 个单位所得抛物线的表达式为 :y=3(x+2) 2 +3. 2.(2013· 恩施中考 ) 把抛物线 先向右平移 1 个单位， 再向下平移 2 个单位，得到的抛物线的表达式为 ( ) 【 解析 】 选 B. 根据抛物线平移规律 “ 左加右减，上加下减 ” 可 得 B 项正确 . 【 名师点拨 】 二次函数平移的四点注意 (1) 平移时既可先左右移再上下移 , 也可先上下移再左右移 . (2) 平移时既可平移抛物线 , 也可平移对称轴 . (3) 抛物线的移动主要看顶点的移动 , 平移时只要抓住顶点就可以 . (4) 抛物线 y=ax 2 和 y=a(x-h) 2 +k 经过适当移动可以互相得到 . 3. 二次函数 y=a(x+m) 2 +n 的图象如图 , 则一次函数 y=mx+n 的图象经过 ( 　　 ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【 解析 】 选 C.∵ 抛物线的顶点在第四象限 , ∴-m>0,n<0,∴m<0. ∴ 一次函数 y=mx+n 的图象经过第二、三、四象限 . 4.(2013· 泰安中考 ) 对于抛物线 下列结论： ①抛物线的开口向下；②对称轴为直线 x=1 ；③顶点坐标为 (-1 ， 3) ；④ x ＞ 1 时， y 随 x 的增大而减小，其中正确结论的 个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 C.① ∴ 抛物线的开口向下，正确； ②对称轴为直线 x=-1 ，错误； ③顶点坐标为 (-1 ， 3) ，正确； ④∵ x ＞ -1 时， y 随 x 的增大而减小， ∴ x ＞ 1 时， y 随 x 的增大而减小一定正确； 综上所述，结论正确的有 3 个． 5.(2013 · 温州中考 ) 如图 , 抛物线 y=a(x-1) 2 +4 与 x 轴交于点 A,B, 与 y 轴交于点 C. 过点 C 作 CD∥x 轴 , 交抛物线的对称轴于点 D, 连接 BD. 已知点 A 坐标为 (-1,0). (1) 求该抛物线的表达式 . (2) 求梯形 COBD 的面积 . 【 解析 】 (1) 把 A(-1,0) 代入 y=a(x-1) 2 +4, 得 0=4a+4,∴a=-1,∴y=-(x-1) 2 +4. (2) 令 x=0, 得 y=3,∴OC=3, ∵ 抛物线 y=-(x-1) 2 +4 的对称轴是直线 x=1, ∴CD=1. ∵A(-1,0),∴B(3,0),∴OB=3, 【 想一想错在哪？ 】 抛物线和 y=-3x 2 的图象的形状相同 , 对称 轴平行于 y 轴 , 并且顶点坐标为 (-1,0), 求此抛物线的表达式 . 提示 : 漏掉了开口方向相反的情况 .