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- 2021-06-17 发布
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黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．复数满足，则复数的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
先由复数的除法运算求出，得到其共轭复数，进而可得出结果.
【详解】
因为，所以，
故，因此在复平面中对应的点为，位于第二象限.
故选B
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算以及复数的几何意义，熟记运算法则与几何意义即可，属于基础题型.
2．函数的单调递增区间是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，求解不等式即可确定函数的单调递增区间.
【详解】
由函数的解析式可得：,
求解不等式可得：，
故函数的单调递增区间是.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查导函数求解函数单调性的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．若函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得切点坐标，然后利用导数求得斜率，由此求得切线方程.
【详解】
依题意，，由点斜式得，即切线方程为，故选A.
【点睛】
本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于基础题.
4．某公司在2012-2016年的收入与支出情况如下表所示：
收入 （亿元）
支出 （亿元）
根据表中数据可得回归直线方程为，依此估计如果2017年该公司收入为亿元时的支出为 （ ）
A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元
【答案】B
【解析】
， ，代入回归直线方程， ，解得： ，所以回归直线方程为： ，当 时，支出为 亿元，故选B.
5．在中国决胜全面建成小康社会的关键之年，如何更好地保障和改善民生，如何切实增强政策“获得感”，成为
年全国两会的重要关切．某地区为改善民生调研了甲、乙、丙、丁、戊个民生项目，得到如下信息：①若该地区引进甲项目，就必须引进与之配套的乙项目；②丁、戊两个项目与民生密切相关，这两个项目至少要引进一个；③乙、丙两个项目之间有冲突，两个项目只能引进一个；④丙、丁两个项目关联度较高，要么同时引进，要么都不引进；⑤若引进项目戊，甲、丁两个项目也必须引进．则该地区应引进的项目为( )
A．甲、乙 B．丙、丁 C．乙、丁 D．甲、丙
【答案】B
【解析】
【分析】
由②分析可知丁、戊两个项目至少要引进一个，分别假设引进戊项目和丁项目结合信息分析进而可得解.
【详解】
由②知丁、戊两个项目至少要引进一个，若引进戊项目，则由⑤可知甲、丁两个项目也必须引进；由①④可知必须引进乙、丙两个项目，与③矛盾，所以不能引进戊项目，因此必须引进丁项目．由④可知必须引进丙项目；由③可知不能引进乙项目；由①可知不能引进甲项目．故该地区只能引进丙、丁两个项目．故选B．
【点睛】
本题主要考查了合情推理，注重逻辑关系的考查，属于中档题.
6．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为( )
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可得，遇到红灯的次数服从二项分布，利用二项分布的期望公式即可求得遇到红灯次数的期望，从而求得因遇到红灯停留的总时间，问题得解。
【详解】
由题可得，遇到红灯的次数服从二项分布
即：，所以
所以因遇到红灯停留的总时间Y的期望为
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望公式，属于基础题。
7．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
，
∴∴
点晴：本题考查的是离散型随机变量的期望,方差和分布列中各个概率之间的关系.先根据概率之和为1，求出p的值，再根据数学期望公式，求出a的值，再根据方差公式求出D（X），继而求出D（2X-3）．解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望．
8．若当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由可将“”转化成“”，利用绝对值不等式的解法可得：在上恒成立，转化成恒成立，问题得解。
【详解】
当时，
“不等式恒成立”等价于：恒成立
即：恒成立，
所以恒成立.
整理得：，即：
故选：A
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的解法，还考查了不等式恒成立问题，考查转化思想及计算能力，属于难题。
9．如果函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数求导，根据函数有两个极值点可得有两个不等实根，从而得解。
【详解】
由题意得，即，
，
因为函数有两个极值点，所以在有两个不等实根，
，解得
即，故选B。
【点睛】
本题考查导函数与极值的关系，求解这一类问题时，如果导函数可以转化为二次方程，则直接利用二次函数根的分布求解，若不能转化为二次方程，尽可能用数形结合求解。
10．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意先确定g（x）＝f（x）﹣4x在（0，+∞）上单增，再利用导数转化，可得
恒成立，令求得max，即可求出实数a的取值范围．
【详解】
令，因为，所以，
即在上单调递增，故在上恒成立，
即，令.
则，max，即的取值范围为.
故选A.
【点睛】
本题考查了函数单调性的判定及应用，考查了原函数单调与导函数正负的关系，确定g（x）在（0，+∞）上单增是关键，属于中档题．
11．已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),则下面四个图象中,的图象大致是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据的图象，判断出函数的单调性，进而可得出结果.
【详解】
由的图象可得：
当时，，所以，即函数单调递增；
当时，，所以，即函数单调递减；
当时，，所以，即函数单调递减；
当时，，所以，即函数单调递增；
观察选项，可得C选项图像符合题意.
故选C
【点睛】
本题主要考查利用导数判断函数的单调性，解题关键在于，分析清楚的图象特征，属于常考题型.
12．已知函数是定义在的可导函数，为其导函数，当且 时，，若曲线在处的切线的斜率为，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
当 且 时，，可得：
时，
时，
令 可得： 时， ； 时，
可得：函数在处取得极值，
．
故答案为
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．计算_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由微积分基本定理直接计算即可.
【详解】
,
故答案为.
【点睛】
本题主要考查微积分基本定理，根据基本初等函数的导函数，即可求解，属于基础题型.
14．已知随机变量，若，则__________．
【答案】
【解析】
分析：根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且依据正态分布对称性，即可求得答案.
详解：随机变量服从正态分布
曲线关于x=1对称，
故答案为：0.8.
点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，要熟练应用正态分布曲线的轴对称性解决问题.
15．函数的最大值为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数表达式即可求得函数的定义域为，构造柯西不等式模型即可得解。
【详解】
因为
所以，解得：，所以函数的定义域为：.
又
所以.
所以，当且仅当时，等号成立。
所以函数的最大值为
【点睛】
本题主要考查了构造思想及利用柯西不等式求最值，考查观察能力，属于难题。
16．已知函数，，若成立，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，即可将表示为，记，利用导数即可判断函数在上递减，在上递增，问题得解。
【详解】
令，（）
则，
解得：，
所以
记
则
当时，；当时，
所以函数在上递减，在上递增。
所以
所以的最小值是
【点睛】
本题主要考查了方程思想及转化能力，还考查了利用导数求函数的最值，考查计算能力及观察能力，属于难题。
评卷人
得分
三、解答题
17．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.。
【解析】
试题分析：
（1）根据分类讨论的方法去掉绝对值，化为不等式组求解．（2）先由绝对值的三角不等式得，再根据求得实数的取值范围．
试题解析：
（1）时，不等式为，等价于
或或，
解得，或或，
∴，
∴不等式的解集是.
（2）由绝对值的三角不等式得，
∵对于恒成立，
∴，
解得或.
∴实数的取值范围为．
18．已知函数
(1)求 的值；
(2)求函数在区间上的最值
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)对函数求导，然后利用函数在处取极值可得，再利用题意中的构造一个关于的二元一次方程组，便可解出的值。
(Ⅱ)需求函数在闭区间的最值，首先需要利用导函数导函数讨论函数在该区间内的单调性，若函数在该闭区间内单调，则最值在闭区间的端点处取值，若函数不单调，则需比较极值和端点值得大小。
【详解】
(Ⅰ)由题意得，定义域为
因为在处有极值，
所以，解得；
(Ⅱ)由(Ⅰ) ，所以，，
令，在定义域内解得，当时，，所以单调递减；当时，，单调递增，当，
，易得，
所以当时，，。
【点睛】
本题考查函数在闭区间内的最值问题，需要利用导函数导函数讨论函数在该区间内的单调性，若函数在该闭区间内单调，则最值在闭区间的端点处取值，若函数不单调，则需比较极值和端点值得大小。
19．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个平行班，每班50人，某教师采用、两种不同的教学模式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，该教师分别从两班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图所示，记成绩不低于90分为“成绩优秀”.
（1）在乙班的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2人，求抽出的两个人均“成绩优秀”的概率；
（2）由以上统计数据填写列联表；能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为成绩优秀与教学模型有关.
甲班（）
乙班（）
总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计
附：.
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
1.323
2.072
2.706
3.847
5.024
【答案】（1）。
（2）列联表见解析；在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“成绩优秀”与教学模式有关.
【解析】分析：（1）利用列举法确定基本事件的个数，由此能求出抽出的两个均“成绩优秀”的概率；
（2）由已知数据能完成2×2列联表，据列联表中的数据，求出K2≈3.137＞2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．
详解：
（1）设抽出的两人均为“成绩优秀”的为事件，从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个.
事件就其中画线部分，共10个.
∴所求概率.
（2）列表
甲班（）
乙班（）
总计
成绩优秀
1
5
6
成绩不优秀
19
15
34
总计
20
20
40
∴.
∵，∴在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“成绩优秀”与教学模式有关.
点睛：本题考查古典概型概率的求法，考查2×2列联表的应用，是中档题．
20．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元不足1小时的部分按1小时计算甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过三小时．
Ⅰ求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
Ⅱ设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】
Ⅰ甲、乙两人所付费用相同，即为2，4，6元，都付2元的概率为，都付4元的概率为，都付6元的概率为，利用互斥事件概率加法公式能求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率．
Ⅱ依题意，的可能取值为4，6，8，10，12，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
【详解】
解：Ⅰ甲、乙两人所付费用相同，即为2，4，6元，
都付2元的概率为，
都付4元的概率为，
都付6元的概率为，
甲、乙两人所付租车费用相同的概率：
．
Ⅱ依题意，的可能取值为4，6，8，10，12，
，
，
，
，
，
的分布列为：
4
6
8
10
12
P
．
【点睛】
本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．如图，已知四棱锥，底面为菱形，，,平面，分别是的中点。
（1）证明：；
（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。
【答案】(1)见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）证明，利用平面即可证得，问题得证。
（2）过点作于点，过点作于点，连接.当与垂直时，与平面所成最大角，利用该最大角的正切值为即可求得，证明就是二面角的一个平面角，解即可。
【详解】
（1）因为底面为菱形，
所以为等边三角形，又为中点
所以，又
所以
因为平面，平面
所以，又
所以平面
（2）过点作于点，过点作于点，连接
当与垂直时，与平面所成最大角.
由（1）得，此时.所以就是与平面所成的角.
在中，由题意可得：,又
所以.
设，在中由等面积法得：
解得：，所以
因为平面，平面
所以平面平面，
又平面平面，，平面
所以平面，又平面
所以，又，
所以平面，
所以
所以就是二面角的一个平面角
因为为的中点，且
所以，又
所以
在中，求得：,,
由可得：,即：，解得：
所以
所以
所以二面角的余弦值为
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的证明，考查了转化能力，还考查了线面角知识，考查了二面角的平面角作法，考查空间思维能力及解三角形，考查了方程思想及计算能力，属于难题。
22．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）设是的两个零点，证明：．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
分析：（1）求导，对参数分两种情况进行讨论，令得函数的单调递增区间，令得函数的单调递减区间；（2）令，分离参数得，令，研究函数的性质，可将证明转化为证明
，即证明成立，令，利用导数研究函数的增减性，可得，问题得证.
详解：（1），
当时，，则在上单调递增．
当时，令，得，则的单调递增区间为，
令，得，则的单调递减区间为．
（2）证明：由得，设，则．
由，得；由，得．
故的最小值．
当时，，当时，，
不妨设，则，
等价于，且在上单调递增，
要证：，只需证，
，
只需证，即，
即证；
设，
则，
令，则，，
在上单调递减，即在上单调递减，
，在上单调递增，
，
从而得证．
点睛：本题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数进行分类讨论，再分别令，即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调性；第二问解题时，首先对进行参数分离，再构造新函数，利用函数的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明.