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- 2021-06-17 发布
赤峰市高三4·20模拟考试试题
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数在复平面内所对应的点在实轴上，则实数（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．0
3.已知，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.设，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．-1
5.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）
A．23 B．47 C．24 D．48
6.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某直三棱柱被一平面所截得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
7.在平面直角坐标系中，以为圆心且与直线相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
8.“一支参加科技创新竞赛的师生的队伍中，包括我在内，总共是13名.下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化.在这此师生中：①学生不少于老师；②男老师多于女学生；③女学生多于男学生；④至少有一位女老师.”，由此推测这位说话人是（ ）
A．男学生 B．女学生 C．男老师 D．女老师
9.已知函数，若是函数的一条对称轴，且，则点所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
10.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上，且满足，当取得最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.函数的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中含项的系数为 ．
14.、两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计获胜的概率.先利用计算器成计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5，6，7表示获胜；8，9表示获胜，这样能体现获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组.例如，产生30组随机数：034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751，据此估计获胜的概率为 ．
15.三棱锥中，平面且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
16.在平行四边形中，边，的长分别为2，1，，若，分别是边，上的点，且满足，则的取值范围是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知数列是各项都为正数的等比数列，满足，且，，成等差数列，数列满足.
（1）求和的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求.
18.如今我们的互联生活日益丰富，除了可以很方便地购，上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助络进行了关于络外卖的问卷调查，并从参与调查的民中抽取了人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）
经常使用络外卖
偶尔或不用络外卖
合计
男性
505
70
120
女性
60
120
180
合计
110
190
300
（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用络外卖的情况与性别有关？
（2）①现从所抽取的女民中利用分层抽样的方法再抽取6人，再从这6人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人偶尔或不用络外卖的概率；
②将频率视为概率，从市所有参与调查的民中随机抽取5人赠送礼品，记其中经常使用络外卖的人数为，求的数学期望和方差.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19.如图，在三棱柱中，侧面底面，，，点，分别是，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值.
20.经过点且中心在坐标原点，焦点在轴上椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点，在轴上是否存在一点，记和的面积分别为、，使得.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21.已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）设，，为自然对数的底数，当时，若，，不等式成立，求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线，公共弦所在的直线的极坐标方程；
（2）设点在曲线上，点在曲线上，求的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知，且.
（1）求证：；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.